拉格朗日插值法总结

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1、拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-1216：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=

2、f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项

3、式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如

4、果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。第一节拉格朗日插值公式一.线性插值(一次插值)已知函数f(x)在区间[xk,xk+1]的端点上的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个一次函数y=P1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其几何意义是已知平面上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一条直线过该已知两点。1.插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：把此式按

5、照yk和yk+1写成两项：记并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：从而P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与yk、yk+1无关，而由插值结点xk、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.例1：已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值。解：f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设x0=10,x1=20,y0=1

6、,y1=1.3010则插值基函数为：于是,拉格朗日型一次插值多项式为：故：即lg12由lg10和lg20两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二次插值多项式已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个次数不超过二次的多项式P2(x),使其满足,P2(xk-1)=yk-1,P2(xk)=yk,P2(xk+1)=yk+1.其几何意义为：已知平面上的三个点(xk-1,yk-1

7、),(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。1.插值基本多项式有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足：(1)基本多项式为二次多项式；(2)它们的函数值满足下表：因为lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),又因为lk-1(xk-1)=1==a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=1得

8、从而同理得基本二次多项式见右上图(点击按钮"显示Li")。2.拉格朗日型二次插值多项式由前述,拉格朗日型二次插值多项式：P2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),P2(x)是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足：P2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)。例2已知：xi101520yi=lgxi11.17611.3010利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。解：设x0=10,x1=15,x2=20,则：故