拉格朗日插值ppt课件.ppt

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1、第2章插值法12.1引言设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，函数，（1.1）成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数若存在一简单使的方法称为插值法.2（1.2）若是次数不超过的代数多项式，其中为实数，就称为插值多项式，本章只讨论多项式插值与分段插值.若为分段的多项式，就称为分段插值.若为三角多项式，就称为三角插值.即相应的插值法称为多项式插值.3从几何上看，插值法就是就曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线.图2-1见图2-1.4本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式的存在惟一性、收敛性及误差估计等.

2、52.2.1线性插值与抛物插值对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论的简单情形.问题：给定区间及端点函数值，要求线性插值多项式，2.2拉格朗日插值使它满足6其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.7由的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），（2.1）由两点式看出，是由两个线性函数（2.2）的线性组合得到，其系数分别为及，即（2.3）8显然，及也是线性插值多项式，在节点及称及为线性插值基函数，上满足条件图形见图2-3.9图2-310下面讨论的情形.假定插值节点为，，，要求二次插值多项式几何上是通过三点的抛物线.可以用基函数的方法求的表

3、达式，此时基函数（2.4）使它满足是二次函数，且在节点上满足条件11接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求为例，由插值条件，它应有两个零点及，可由插值条件定出其中为待定系数，于是可表示为12同理二次插值基函数，，在区间上的图形见图2-4.13图2-414利用，，，（2.5）显然，将,，代入(2.5),立即得到二次插值多项式它满足条件得152.2.2拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.（2.6）根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.为构造，16定义1若次多项式在个节点（2.7）就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.上满足条件

4、17显然它满足条件（2.7）.于是，满足条件（2.6）的插值多项式可表示为（2.9）（2.8）与前面的推导类似，次插值基函数为18由的定义，知形如（2.9）的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，而(2.3)与(2.5)是和的特殊情形.容易求得（2.10）若引入记号19于是公式（2.9）可改写成（2.11）注意:次插值多项式通常是次数为的多项式，特殊情况下次数可能小于.关于插值多项式存在唯一性有以下定理.20它可用来检验函数组的正确性.故只能.有个零点.假定还有使成立.于是有对成立，在次数不超过的多项式集合中，满足条件(2.6)的插值多项式是存在唯一的.公式(2.11)所表示的已证明了插

5、值多项式的存在性，这与次多项式只有个零点的代数基本定理矛盾，定理1证明下面用反证法证明唯一性.它表明多项式21若取，则（2.13）根据存在唯一性定理，（2.12）可得若令222.2.3插值余项与误差估计若在上用近似，设在上连续，在内存在，节点是满足条件(2.6)的插值多项式，则对任何，插值余项（2.14）这里且依赖于，是（2.10）所定义的.则其截断误差为也称为插值多项式的余项.定理223由给定条件知在节点上为零，即，其中是与有关的待定函数.（2.15）现把看成上的一个固定点，作函数根据插值条件及余项定义，可知在点及处均为零，故在上有个零点，证明于是24根据罗尔定理，在的两个零点间至

6、少有一个零点，故在内至少有个零点.对再应用罗尔定理，可知在内至少有个零点.依此类推，在内至少有一个零点，记为，使25于是将它代入（2.15），就得到余项表达式（2.14）.余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.但在内的具体位置通常不可能给出，如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是（2.16）且依赖于26当时，线性插值余项为（2.17）当时，抛物插值余项为（2.18）27由题意,取用线性插值计算，的值并估计截断误差.例1已知用线性插值及抛物插值计算解取由公式（2.1）2829由（2.17）,其截断误差其中于是30用抛物插值计算，由公式（2.5）得31由（2.18）,截断误差限

7、其中于是这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.32332.3均差与牛顿插值公式2.3.1均差及其性质利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.34（3.1）其中为待定系数，确定.为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式可由个插值条件35当时，当时，依此递推可得到.当时，推得推得由，由36称为函