《拉格朗日插值》ppt课件

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1、第二讲Lagrange插值1主要知识点插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性；Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式）；插值余项；插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。2插值问题描述设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式,以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。3多项式插值定义在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数个互不相同的点处的函数值，为求的近似式，自然应当选次多项式使满足条件4插值的几何意义插值多

2、项式的几何意义5插值唯一性定理定理：(唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。6存在唯一性定理证明设所要构造的插值多项式为：由插值条件得到如下线性代数方程组：7存在唯一性定理证明(续)此方程组的系数行列式为范得蒙行列式！当时，D0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。8插值方法一、解方程组法：类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为，将个节点的函数值代入多项式里，便得到个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适

3、合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。9拉格朗日插值公式拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。10线性插值函数x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见是过和两点的直线。11抛物插值函数x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。12N次插值函数要求：无重合节点，即设连续函数在[a,b]上对给定n+1个不同结点：分别取函数值其中试构造一个次数不超过n的插值多项式使之满

4、足条件i=0,1,2,…,n13一次Lagrange插值多项式(1)已知函数在点上的值为，要求多项式，使，。其几何意义，就是通过两点的一条直线，如图所示。14一次Lagrange插值多项式(2)一次插值多项式15一次Lagrange插值多项式(3)由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为它也可变形为显然有：16一次Lagrange插值多项式(4)记可以看出的线性组合得到，其系数分别为，称为节点,的线性插值基函数17一次Lagrange插值多项式(5)线性插值基函数满足下述条件1001并且他们都是一次函数。注意他们的特点对

5、下面的推广很重要18一次Lagrange插值多项式(6)我们称为点的一次插值基函数，为点的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。19二次Lagrange插值多项式1线性插值只利用两对值及求得的　　近似值，误差较大。p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。20二次Lagrange插值多项式2以过节点　　的二次函数为插值

6、函数。用基函数的方法获得其中设被插函数在插值节点处的函数值为21N次插值函数1我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式，而三个插值点可求出二次插值多项式。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式，如下所示：22N次插值多项式问题2已知n+1个节点处的函数值求一个n次插值函数满足23N次插值多项式3构造各个插值节点上的基函数满足如下条件10000100000124N次插值多项式4求n次多项式，k=0,1,…,n则i=0,1,2,…,n即满足插值条件根据的表达式，以外所有的结点都是的根

7、，25N次插值多项式5又由，得：因此令26N次插值多项式6从而得n阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：27N次插值多项式7在[a,b]内存在,考察截断误差设节点，且f满足条件,存在使得。且推广：若使得使得罗尔定理:若在［］连续，在充分光滑，28N次插值多项式8注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。29例题分析1例：已知特殊角处的正弦函数值分别为求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用插值函数近似计算，并

8、估计误差解：一次插值函数为30例题分析2误差为在所求点的函数值为误差为知31例题分析3二次插值多项式为误差为所求函数值为32例题分析4误差为右图中红色曲线为图形,绿色曲线为插插值函数的图形。33第二讲完！谢谢大家！再见！34