拉格朗日插值讲解课件.ppt

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1、拉格朗日插值误差余项差商(均差)的概念算法与例子牛顿插值公式《数值分析》14两点线性插值定义误差余项:R(x)=f(x)–L(x)由插值条件,知R(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)即f(x)–L(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)C(x)=???2/18a≤x0＜x1＜······＜xn≤b则对任何x∈[a,b],满足Ln(xk)=f(xk)的n次插值多项式Ln(x)的误差其中,且与x有关定理5.2设f(x)∈C[a,b],且f(x)在(a,b)内具有n+1阶导数,取插值结点3/18证明:记n+1(x)=(

2、x–x0)(x–x1)······(x–xn)f(x)–Ln(x)=C(x)n+1(x)取定x∈(a,b),设t∈(a,b).构造函数显然,F(x)=0,F(xj)=0,(j=0,1,···,n)由插值条件Ln(xk)=f(xk)(k=0,1,…,n)知存在C(x)使得4/18F(t)有(n+2)个相异零点.根据Rolle定理,F’(t)在区间(a,b)内至少有(n+1)个相异零点.依此类推,F(n+1 )(t)在区间(a,b)内至少有一个零点。故存在∈(a,b),使F(n+1)()=05/18例5.3设y=f

3、(x)在区间[a,b]上有连续,且f(x)在(a,b)内具有2阶导数,已知f(x)在区间端点处的值.如果当x∈(a,b)时,有

4、f’’(x)

5、≤M.试证明证明由Lagrange插值误差定理令h(x)=

6、(x–a)(x–b)

7、6/18应用:考虑制做sinx在[0,]上等距结点的函数表,要求用线性插值计算非表格点数据时,能准确到小数后两位,问函数表中自变量数据的步长h应取多少为好？解：设应取的步长为h,则xj=jh(j=0,1,···,n).当x∈(xj,xj+1)时h≤0.2只须7/18取x0,x1,x2,求二次函数

8、P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)满足条件P(x0)=f(x0),P(x1)=f(x1),P(x2)=f(x2)插值条件引出关于a0,a1,a2方程牛顿插值问题8/18解下三角方程组过程中引入符号a0=f(x0),a1=f[x1,x2],a2=f[x0,x1,x2]P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)9/18定义5.3若已知函数f(x)在点x0,x1,···,xn处的值f(x0),f(x1),···,f(xn).如果i≠j,则(j=0,1,…,n-1)一阶均差n阶均

9、差二阶均差(j=0,1,…,n-2)10/18x-2-1013y-56-16-2-24例由函数表求各阶均差xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商-2-56-1-16400-214-131-20-7234312解:按公式计算一阶差商、二阶差商、三阶差商如下11/18MATLAB程序计算x=[-2-1013]’;y=[-56-16-2-24]’;f=yn=length(x);fork=2:nforj=n:-1:kf(j)=(f(j)-f(j-1))/(x(j)-x(j+1-k));endD(:,k-1)=f;D(1:k-1,k

10、-1)=zeros(k-1,1);end[x,y,D]-2-56-1-16400-214-131-20-7234312012/18牛顿插值公式其中(k=1,2,···,n)f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x,x0]13/18假设对于k

11、+2)(x+1)+2(x+2)(x+1)x例由函数表求Newton插值函数函数值的计算:N3(x)=–56+(x+2)[40–(x+1)[13+2x]]15/18根据代数插值存在唯一性定理,n次牛顿插值公式恒等于n次拉格朗日插值公式,误差余项也相等，即算法:记插值节点为x0,x1,···,xn,f(x)的各阶差商为f0,f1,f2,···,fns←fn计算s←fk+s*(x-xk)(k=n-1,n-2,···,0)(3)N(x)=s16/18例:推导计算公式112983362719/241006437/2352251

12、2561/241/4644121691/251/407784343127/261/4017/18P(n)=1+(n-1)(8+(n-2)(19/2+(n-3)(3+(n-4)/4)))=n4/4+n3/2+n2/4=1+(n–1)(8+(n–2)(19/2+(n–3)(n/4+2)))=1+(n–1)(8+(n–2)(19/2+n