数学人教版九年级下册相似三角判定.ppt

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1、27.2相似三角形的判定相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).知识回顾注：三角形相似与三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等。相似的表示方法符号：∽读作：相似于最简单的相似多边形是什么图形呢？ABCA1B1C1相似比ABCA1B1C1判定两个三角形相似的方法(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.BACACB如何证明？若从定义出发判断两个三角形是否相似，

2、需要考虑6个元素，比较麻烦判定两个三角形相似的简单方法：EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C如右下图：在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，则在△ABC中有：下面对以上判定方法进行严格的证明（定义法）如果D、E交在BA、CA的延长线上，且DE∥BC，结论是否仍然成立呢？注：写相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE为ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延长线于F△ADE

3、∽△ABC对于上图的情形，同样可以证明△ADE∽△ABC，这是判定两个三角形相似的定理，即是预备定理。平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.AECBDEBACD知识要点相似三角形判定的预备定理：A字型8字型定理所对应的图形如下：从预备定理出发，观察下图，你能得出什么新结论？在图形变化过程中，始终满足DE∥BC在图形运动中，由于DE∥BC，因此在D、E的变化过程中，△ADE的边长在变，而角的大小始终不变。这说明什么问题呢？说明只要两个三角形的三个对应角相等，那么两个三角形就相似，而只要两个

4、角相等，第三个必相等，所以就有：判定定理1思路：在运动变化中找不变性对于任意的两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。知识要点三角形相似判定定理1A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.那么即：如果∠A=∠A1，∠B=∠B1.简述:两角对应相等,两三角形相似CBA已知,如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,∠B=∠B,求证:△ABC∽△ABCABCDE证明:在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由预备

5、定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=AB∴△ADE≌△ABC∴△ABC∽△ABCABCCBADE例1如图,在△ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=ACCD分析:要证明BC2=ACCD，即证明，只要证明AC、BC和BC、CD为相似三角形的两组对应边即可。证明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C为公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=ACCD

6、BCDA如图,圆内接△ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.分析:要证，应考虑EB、BD和EC、CB所在的三角形相似，即是△EBD∽△ECB练一练DEABC证明：由已知条件，可得∠ACE=∠BCE。∵∠ACE与∠ABE是同弧上的圆周角，∴∠ACE=∠ABE∴∠BCE=∠ABE。又∵∠BED=∠CEB。∴△EBD∽△ECB∴结合下图，依照得出判定定理1的思路，即“在运动中找不变性”我们还可以发现∠A=∠A，此时两个三角形也相似。对于任意的两个三角形，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。知识要点

7、三角形相似判定定理2A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果∠B=∠B1.那么简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似ABCCBADE已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,求证:△ABC∽△ABC△ADE≌△ABCDE//BC△ABC∽△ADECBADE已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE//BCE证明:作DE//BC,交AC于E∴AE=AE因此E与点E重合即DE与DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的间接证明引理如果一条直线截三角形的两边

8、(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法