Chap3Sec2 非线性方程的近似解法2.ppt

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1、机电工程学院计算方法非线性方程的近似解法迭代法收敛性例题一种迭代加速方法—埃特金方法牛顿迭代法弦截法非线性方程的近似解法迭代法收敛性例题一种迭代加速方法—埃特金方法牛顿迭代法弦截法若满足：1、则有：1、存在唯一的点2、迭代收敛，且有误差估计定理12、可导，且存在正数L<1，使得对任意的x，有非线性方程的近似解法迭代法收敛性例题一种迭代加速方法—埃特金方法牛顿迭代法弦截法埃特金方法xyy=xx*y=φ(x)x1x2x0xyy=xx*y=φ(x)x1x0x2埃特金方法xyy=xx*y=φ(x)x0x1埃特金方法的优点比用一般迭代法计算收敛

2、速度要快；对某些发散的迭代过程，改用埃特金方法，有时也能求出方程的根。非线性方程的近似解法迭代法收敛性例题一种迭代加速方法—埃特金方法牛顿迭代法弦截法牛顿迭代法的理论依据将f(x)在某根附近的x0（初值）处作Taylor展开取线性部分作为f(x)的近似，有：若，则有xyx0牛顿迭代法的几何意义xyx*x0x1x2牛顿法也称为切线法当初始点较远时，仍能逐步逼近于方程根牛顿迭代法的收敛性x*x0x0x0因此，一般先通过逐步搜索法寻找方程f(x)=0的有根区间[a,b]，并且尽量使[a,b]比较小，从而保证在区间[a,b]上，f(x)

3、和f(x)都不变号，然后进行讨论。当f(x)和f(x)在区间[a,b]上都不变号，既f(x)在[a,b]上保持严格单调和凹向不变，这时f(x)的图形只可能有四种情况。xyxyxyxy定理2：设f(x)在区间[a,b]上存在二阶导数，且（1）f(a)f(b)<0；（2）在[a,b]上f(x)0；（3）f(x)在[a,b]上不变号；（4）对x0[a,b]，有f(x0)f(x0)>0则牛顿迭代法产生的序列{xk}收敛于方程f(x)=0在[a,b]内的唯一根x*。有根根唯一f(x)单调f(x)和f(x)在区间[

4、a,b]上都不变号(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0)计算步骤(2)按公式迭代得新的近似值xk+1(3)对于给定的允许精度，如果则终止迭代，取;否则k=k+1，再转步骤(2)计算允许精度最大迭代次数迭代信息牛顿法的优缺点（1）Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。（2）但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。非线性方程的近似解法迭代法收敛性例题一种迭代加速方法—埃特金方法牛顿迭代法弦截法将牛顿迭代中的导数，用差商代替，

5、有格式切线割线弦截法的理论依据弦截法的几何意义xyx*x1=bx0=ax2x3x4弦截法的优缺点（1）不需要计算导数；（2）收敛速度不如牛顿法。本次课结束！谢谢大家