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《数值方法第二章非线性方程的近似解法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章非线性方程的近似解法第二章非线性方程的近似解法§2.0简介§2.1二分法（对分法）§2.2简单迭代法§2.3Newton迭代法§2.0简介求解非线性方程f(x)=0一、问题困难：方程的解难以用公式表达。例如:1)多项式方程：需要一定精度的近似解！2)超越方程:方程的解称为方程的根或称为的零点。二、概念方程可能有多个实根，我们只能逐个求出来。二、概念设在区间[a,b]上方程有一个根，则称该区间为方程的一个有根区间。若在区间[a,b]上方程只有一个根，则称该区间为方程隔根区间。Remark：若能把有根
2、区间不断缩小，则可以得出根的近似值。三、根的隔离基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方法有：描图法与逐步搜索法。1、描图法：画出y=f(x)的简图，从曲线与x轴交点的位置确定出隔根区间，或者将方程等价变形为g1(x)=g2(x)，画出函数y=g1(x)和y=g2(x)的简图，从两条曲线交点的横坐标的位置确定隔根区间。2、逐步搜索法：先确定方程f(x)=0的所有实根所在区间[a,b]，再按照选定的步长（n为正整数），取点xk=a+kh(k=0,1,…,n)，逐步计算函数值f(xk)，依据函数值异号
3、以及实根的个数确定隔根区间。必要时可调整步长h，总可把隔根区间全部找出。三、根的隔离三、根的隔离问题：扫描间距？§2.1二分法（对分法）关于求解算法:算法多样：比如刚才的逐步搜索法考虑因素：1．稳定性；2．收敛性；3．…§2.1二分法（对分法）一、算法设在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内f(x)=0仅有一个实根。二分法的基本思想是：逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求出满足给定精度的根的近似值。执行步骤：1．计算f(x)在有解
4、区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x1)。3．判断若f(x1)=0，则x1即是根，否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x1]，b1=x1,a1=a;（2）若f(x1)与f(a)同号，则知解位于区间[x1,b]，a1=x1,b1=b。4.反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),…,(ak,bk),…当时则即为方程的近似根二、误差估计定理1：给定方程f(x)=0，设f(x)在区间[a,b]上连续，且f
5、(a)f(b)<0，则由二分法产生的序列{xk}收敛于方程的根x*，且具有误差估计：三、收敛准则1.事先误差估计：利用误差估计定理，令得从而得到对分次数k＋1，取xk＋1作为根得近似值x*。2.事后误差估计：给定ε，每步检查，若成立，则取，否则继续对分。Remark2：也可以使用来控制误差。Remark3：二分法的优点是方法及相应的程序均简单，且对f(x)性质要求不高，只要连续即可。但二分法不能用于求复数根和偶数重根，且收敛速度比较慢。因此，一般常用该方法求根的初始近似值，然后再用其它的求根方法精确化。
6、Remark1：由于，故也可以用来控制误差（最常用）定义f(x)f(a)f(b)>0f(a)f(b)=0f(a)=0打印b,k打印a,k结束是是是否否否m=(a+b)/2
7、a-b
8、<f(a)f(m)>0打印m,ka=mb=m结束k=K+1是是否否输入k=0算法(二分法)§2.2迭代法即序列的极限为的根。当连续时，有或。即一、迭代法1.基本思想：令方程,将其变成一个等价的方程,构造,称为迭代数列，或迭代过程。称为迭代函数,称为迭代公式因此，我们可以通过求迭代数列的极限的方法来求得方程f(x)=0的
9、根。Remark：可以通过不同的途径将f(x)=0化为x=φ(x)的形式，从而构造不同的迭代公式，得到不同的迭代序列。在所有这些构造的迭代公式中形成的序列中，有的序列是收敛的，而有些是发散的。问题：如何选取合适的迭代函数φ(x)？φ(x)应满足什么条件，序列{xk}收敛？怎样加速序列{xk}的收敛？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=φ(x)y=φ(x)y=φ(x)y=φ(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p12.迭代法的收敛定理（2）对任意
10、初值x0[a,b]由迭代公式则有:定理1.（全局收敛定理）设方程，如果满足（3）存在常数0
