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1、第二章方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。本章主要介绍求非线性方程根的一些常用方法。它们是增值寻根法、二分法、迭代法、牛顿法及割线法。这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的精度为止。也即求非线性方程根的数值方法。第一节第一节 增值寻根法与二分法2.
2、1.1增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为，增值寻根法的基本思想是，从初始值开始，按规定的一个初始步长h来增值。令=+h(n=0,1,2，…)，同时计算f()。在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1)f()=0，此时即为方程的根。(2)f()和f()同符号。这说明区间［,］内无根。(3)f()和f()异号，即有f()·f()＜0此时当f(x)在区间［,］上连续时，方程f(x)=0在［,］一定有根。也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，或均可以视为根的近似值。下一步
3、就是设法在该区间内寻找根更精确的近似值，为此再用增值寻根法把作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长，这样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)更接近于零的，作为更精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜-｜＜(为所要求的精度)为止。此时f()或f()就可近似认为是零。或就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）. 2—1 例1用增值寻根法求方程f(x)=-10=0的有根区间。解取=-4，h=1，则计算结果如下表2-1：表2-1x-4-3-
4、2-1012f(x)-10-1-2-7-10-514 所以f(x)=0的有根区间为(1，2).再取=1，h=0.1，计算结果如表2-2： 表2-2x11.11.21.21.4f(x)-5-3.829-2.512-1.0430.584 所以f(x)=0更进一步的有根区间为(1.3，1.4) 2.1.2二分法 设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)·f(b)＜0，则由连续函数性质知，方程f(x)=0在(a,b)内至少有一实根，为以下讨论方便，设(a,b)内仅有唯一实根。二分法的基本
5、思想就是逐步对分区间［a,b］，通过判断两端点函数值乘积的符号，进一步缩小有根区间，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的根的近似值，如图。2-2具体做法如下：用区间［a,b］的中点平分区间，并计算f()，同时记(,)=(a,b)，如果恰好有f()=0，则我们已经找到方程的根=。如若不然，f()≠0，如果f()·f()＜0，则记(,)=(,),如果f()·f()＜0，则记(,)=(,)，在后两种情形区间(,)为新的有根区间。它包含在旧的有根区间(,)内，其区间长度是原区间的一半。
6、对区间(，)施行同样的办法。即平分区间，求中点判断函数值乘积的符号，得到新的有根区间(,)，它包含在区间(,)内，其区间长度是(,)的，(,)的。如此重复n次，如果还没有找到方程的精确根，此时我们得到方程的有根区间序列：(,)，(,)，…,()，…它满足(,)(,)…()…f()f()<0-=,n=1,2,…n-1当n充分大时，()的长度缩小到充分小，此时它的中点与夹在与之间，它们的距离也充分小，且序列｛｝满足：上式表明=(2)即序列｛｝以等
7、比数列的收敛速度收敛于。同时也表明序列｛｝是的一个近似值序列。因此对任意给定的精度<0，总存在n，使此时,我们可以取作为的近似值，即可满足精度。例2用二分法求方程f(x)==0在［1，2］内的一个实根，且要求满足精度解用二分法计算结果如表2-3：nf()11.02.01.52.37521.01.51.25-1.7968731.251.51.3750.1621141.251.3751.3125-0.8483951.31251.3751.34375-0.3509861.34375
8、1.3751.359375-0.0964171.3593751.3751.36718750.0323681.3593751.36718751.36328125-0.0321591.363281251.36718751.3652343750.000072101.363281251.3652343751.364257813-0.01605111.3642578131.3652343751.364746094-0.00799 迭代11次，近似根=1.364746094即为所求，其误差这种方法的优点
