解析几何中平面几何知识的相关应用（定）.doc

《解析几何中平面几何知识的相关应用（定）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、解析几何中平面几何知识的相关应用在解析几何中经常会碰到一些问题，如果用解析法去一步步解决，计算量比较大，如果用平面几何的相关知识把其中的一部分图象问题加以转换，就可以达到简化计算和过程的目的。一、利用对称性来解决相关问题例1：已知圆O：，圆外有一点P(2,4)，过点P作圆的两条切线，与圆O相切于点M、N，求直线MN的方程。【分析】如果利用切点MN的坐标去找直线MN的方程，需要解一个二元一次的方程和二元二次的方程联立求解。如果从入手，注意到四边形OMPN是以OP中点Q为圆心的圆的内接四边形这一特殊性，那直线MN就转化成了圆O和圆Q的交点弦问题。解：和为

2、全等的直角三角形MPNO四点共圆，圆以Q为圆心，以OP为直径，则圆Q的方程为即，所以直线MN的方程为，即.例2：：已知圆O：，圆外有一点P(4,0)，过点P任意引圆的一条弦交圆O于点M、N，求MN的中点Q的轨迹方程。【分析】因为Q点在过定点的动弦上，可以设直线PN的斜率为k，在保证直线PN和圆O相交的情况下，用k来表示M点和N点，然后消去参数k，从而得到点M的轨迹方程。但是如果注意到MN为定圆的动弦，可利用OQ垂直于MN的性质得到，而O、P都为定点，所以Q点的轨迹为以OP为直径的圆在圆Q的内部的部分。解：设，以OP为直径的圆的方程为联立方程结合图象可

3、知Q点的轨迹方程为.例3：已知直线l：x+y=8，点，，在l上取一点M，过点M以为焦点作椭圆，问：M在何处时，点M到两个焦点距离之和最小？并求此时椭圆方程。【分析】如果直接设点计算就比较复杂，而利用对称性找到F1关于直线l：x+y=8的对称点F3，得到，由两点之间线段最短，线段F2F3与直线l：x+y=8的交点M即为所求，这样就可以达到减小计算量，过程简化的目的。解：设F1关于直线l：x+y=8的对称点为F3(x,y)，则点F3(x,y)满足，解得直线F2F3的方程为：x-3y+4=0联立方程解得M(5,3)此时椭圆以为2a，为2c标准建系，所以椭圆

4、方程为例4：在圆C：内有一点A（1,0），Q为圆周上任一点，AQ的垂直平分线与QC的连线的交点为M，求点M的轨迹方程。【分析】如果设出M点，然后利用Q点来找M点所满足的关系，这样计算复杂而且麻烦，因为Q点为定圆上的动点，M点在AQ的垂直平分线上，去寻求M点和两个定点C和A的关系。解：M点在AQ的垂直平分线上，所以，则为定值，所以M点到两个定点C和A的距离之和等于定值5，所以M点的轨迹为以A和C为焦点的椭圆，椭圆方程为.例5：已知椭圆内有一点P(1,-1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使得值最小，求M的坐标。【分析】椭圆的离心率为，前的系数等于

5、，所以由椭圆的第二定义可知M点到准线l的距离，所以，，过点P作PQ垂直于准线l于Q，则，M点在PQ与椭圆的交点时使等式取得等号。解：PQ垂直于准线l，PQ：y=-1，与椭圆方程结合图象M点在第四象限，解得M点坐标为.例6：P为双曲线右支上的一点,F1为它的右焦点,试判断以F1P为直径的圆和圆的位置关系。【分析】因为P为双曲线右支上的一点，由定义可知，以F1P为直径的圆和圆的位置关系由圆心M和圆心O的距离和两个圆的半径之间的关系决定，所以只要找的长度与定值之间的关系。解：因为，过O点作PF2的平行线OM交PF1于M点，等于两圆的半径之和，所以两圆相外切

6、。例7：过抛物线（p＞0）的焦点F任作一条直线m,交抛物线于P1P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和抛物线的准线相切。【分析】这是关于抛物线的焦点弦的问题，通常利用焦半径公式转化成P1，P2到准线ｌ的距离再加以研究，而研究动圆和定直线相切的问题可直接研究圆心到定直线的距离和半径之间的关系。证明：设P1P2中点为P0，过P0，P1，P2分别向抛物线的准线ｌ引垂线交准线ｌ于Ｑ０，Ｑ１，Ｑ２．由抛物线的定义可知，，，，又因为P1Q1

7、

8、P2Q2

9、

10、P0Q0.