平面几何在解析几何中应用

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1、平面几何在解析几何中的应用南吕大学附中陈一君、活用几何关系速解圆类问题在解析儿何屮，作为二次曲线的圆是研究直线的延续和学习圆锥曲线的基础•圆既是轴对称图，乂是中心对称图形，其屮蕴藏着诸多位置关系和数量关系，对于解析儿何小圆的某些问题，若能活用题屮几何要素的关系，解题就会变得简单而快捷，圆涉及的知识点主要有：圆中切割线定理、圆幕定理、垂径定理.活用圆的儿何性质可以快速解决圆类问题，降低运算量，培养学生认真分析图形的儿何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力•解题时，若能把握形的儿何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将

2、会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何活用儿何关系速解圆类问题.【例题】已知直线l:y=x^b和圆C:x2-by2-i-2y=0相交于不同两点A,B,点p在直线/上，且满足-

3、PB

4、=2,当b变化时，求“的轨迹.【常规解法】设点,则l：y=x+b的参数方程为彳m2+yflmt+-t2+n2+yplnt+—尸+2n+=0,将(1)代入F+y2+2y=0,得22t2+(y[2m+++m2+n2+2n=0,(2)设方程（2）的两根为Gr2,由

5、只4

6、]PB依题意点。在AB或BA的延长线上，・・・财PE=PAPB=2,即也=2m2+n2+2n=2.即x2+y2+

7、2y=2为卩的轨迹方程，表示以（0,・1）为圆心，为半径的圆.【点评】由

8、必4

9、・

10、PB

11、=2联想到直线的参数方程中T的儿何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中的地位来说对更多高三学生来说亦屈不易，还有运算量相比较还是比较大的，时间成本的控制不如方法一.需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解儿的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成【利用圆的几何性质解法】圆C:x2+y2+2y=0的圆心C（O,-l）,r=l.由切割线定理,如图1所示，有PTf=PA-PB=2>lf故点#在圆C夕卜，・・・IPC

12、=Jp7f+jc7f=73・•

13、•点p的轨迹方程为F+（y+1尸=3•【点评】显然直线AB是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制.通过木节微专题学习，发现求解圆的问题时，若能充分揭示问题屮的儿何关系，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍•切割线定理、圆幕定理、垂径定理是圆的对称性的反映，它们在圆中的应用程度非常之广泛.【针对训练1（2013年福建高考文科试题）如图，抛物线&j2=4x的焦点为F,准线/与兀轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心，

14、OC

15、为半径作圆，设圆C与准线/交于不同的两点M、N.（I）若点C的纵坐标为

16、2,求

17、W

18、；(II)若

19、AFf=AM

20、・

21、4N

22、,求圆C的半径.【分析】本题主耍考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识.根据条件圆心C在抛物线上II过原点，解法如下：（I）抛物线E:y2=4x的准线/的方程为x=-l,由点C的纵坐标为2,得点C坐标（1,2）,所以点C到准线/的距离厶2,X

23、CO

24、=5.所以”皿“血⑴7二F=2.2)，_2川+1+号=0（ii）【常规解法】设c（乎，北），则圆c的方程为乎］+（）一y（））2=^+xj，即x2-^-x+y1-2yoy=Of由x=-l设心）、N㈠,小到忙£4"由

25、AFf=AM]AN得卜小

26、

27、=4,•4+,=4=>y0=±a/6此时△>033圆心C的坐标为C（护）或c（〒-荷,从而得=手，1°°1=¥^,即圆c的半径为r=2【利用圆的几何性质解法】抓住圆的几何特征结合垂径定理，从圆幕定理为切入点有下列简洁解法：设圆C与兀轴交于不同的两点0、G.由圆幕定理知:AO・

28、AG

29、=

30、AM

31、・AN.由条件F（l,0）,AFf=AM

32、-

33、A7VI,即4=

34、AM

35、・

36、4M=

37、AO

38、・

39、AG

40、,由条件设222C（旳,y0）>则G（）°,0）,+1=4,y（）=±>/^,22.・・C弓，荷或C（

41、,-妁,【点评】（I）涉及抛物线与圆的位置关系问题，关键要抓住圆

42、心在抛物线上、圆过原点这些儿何特征，结合垂径定理和根与系数关系解决问题.（II）根据条件抓住儿何特征通过圆幕定理解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的儿何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果.二、解析几何中巧用三角形相似简化计算解析儿何是建立在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解决几何问题的一门学科，它开创了数、形结合研究方法•解决解析几何问题的最大难度是如何把握好解题的总体思想策略•但在平时的解析几何教学屮，师生往往偏重于相关量的数量关系的研究，摒弃了最基本，最直接的解题思路，不重视平面几何知识，但解析几何的