向量在平面几何中的应用

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1、向量在平面几何中的应用　　【关键词】高中数学向量平面几何运用　　【中图分类号】G【文献标识码】A　　【文章编号】0450-9889（2013）10B-　　0064-02　　向量是高中数学不可缺少的内容，它是沟通代数、几何与三角函数的工具。在平面几何中，向量可以将很多问题代数化、程序化，体现出数与形的完美结合，新课标对向量知识的考查也充分体现了综合运用的特色。在几何中，平面向量在处理长度、距离、垂直、平行等问题时占有绝对的优势，运用向量与数形的转化，可以大大简化计算，降低某些题目的难度，向量方法在几何中得到了广泛的运用。本文从证明直线平行、求夹角、证明直线垂直三个方面论述向量在平面几

2、何中的运用。　　一、用向量证明直线平行　　直线平行的证明是平面几何中经常遇到的问题之一，也是高中数学中的重点和难点。如果我们直接用平面几何的知识来证明直线平行，思路繁杂，步骤繁琐，向量却可以帮助我们轻松快速地解决问题。　　用向量证明直线与直线平行的一般思路是：把问题转换为向量平行（共线）的充要条件：a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），即只需证明a=λb即可。　　【例1】如图1，若ABCD是平行四边形，EF∥6AB，AE与BF、DE与CF分别相交于N和M。求证：MN∥AD。　　分析：学生遇到此类题目时，通常会想到通过证明同位角相等来得出两直线平行，但是，这一方法的思维过程复杂

3、，导致学生很难入手，无法解决问题。我们可以尝试用向量的方法证明：要证明MN∥AD，只要证明■=λ■（λ≠0）即可，而■=■-■，■=■-■，很容易得出：■=λ1■，■=λ2■，所以，只需要证明λ1等于λ2。至此，问题就变得简单了，因为很容易看出EF∥AB∥DC，且AB=DC，利用三角形相似的原理，很容易得出λ1=λ2。下面我们一起看解题过程：　　证明：∵EF∥AB　　∴△NEF∽△NAB　　设■=λ′■（λ′≠1）　　则■=λ′　　∴■=■=λ′-1　　∴■=■（λ′-1）　　同理，由于EF∥DC得■=■（λ′-1）　　■=■-■　　=（λ′-1）■-（λ′-1）■　　=（λ′-1

4、）（■-■）　　=（λ′-1）■　　令λ=λ′-1，则■=λ■（λ≠0）　　∴MN∥AD6　　从这道题目可以看出：运用向量证明平面几何中直线平行的问题，只要找出所求线段或直线对应的向量平行关系，证明a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），就可以运用向量与数形的转化简化运算。反之，如果直接利用平面几何知识证明直线两两平行，思维过程不仅过于复杂，而且很难找到突破口。因此，教师在设计教学方案时，应要求学生熟练掌握用向量证明直线平行的一般方法，使学生在遇到类似的问题时能轻松应对。　　二、用向量求两直线的夹角　　求两条直线的夹角是高中数学的重要内容之一，求夹角的问题可以利用向量的夹角公式

5、：cosα=■，以两直线的方向向量的夹角与两直线夹角之间的关系为突破口，运用向量的方法，推导得出两直线夹角的余弦公式。对于求平面内两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，难点在于如何根据题意选取恰当的方法来解决问题。下面结合具体实例谈谈求解方法的选择。　　【例2】如图2所示，在△ABC中，已知AB=■，cosB=■，AC边上的中线BD=■。求sinA的值。　　分析：遇到求夹角的问题，我们可以首先考虑cosα=■，而此题求sinA，我们只需求出cosA，根据公式sin2A+cos2A=1即可求得sinA。　　解：以点B为坐标原点，■为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象

6、限。　　如图2，由sinB=■=　　■=■　　■=■cosB，■sinB=■，■　　设■=（x，0），则■=■，■6　　由条件得，　　

7、■

8、=■　　从而有x1=2，x2=-■（舍去）　　故■=■-■=-■，■，于是有　　cosA=■=■=　　■=3■　　∴sinA=■=■　　教师在教学过程中要引导学生树立这样的意识，即要求一个夹角的大小，如果根据已知条件不可以很直观地求出夹角的度数，则可以根据公式cosα=■，利用向量的性质进行求解。　　三、用向量证明直线垂直　　在几何学中，两条直线的垂直，主要分为平面内两条直线垂直和空间两条直线垂直，而证明平面内的两条直线垂直一般有三种方法：平面

9、几何法、解析法、向量法。用向量法证明直线垂直，往往要用到向量垂直的充要条件：a⊥b■a?b=0（或x1x2+y1y2=0），解题时可从这个充要条件入手，转换问题使之简单化。　　【例3】如图3所示，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足■=■+■+■。求证：■⊥■？郾　　分析：这是平面几何中最典型的证明垂直的问题，如果使用平面几何作辅助线的方法，比较麻烦，但如果用向量的方法，就截然不同了。要证明直线垂直，只需证明向量相乘等于0，即只需证明■?■=0而■=■-■，■=