第3章导数与微分1.ppt

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1、第三章导数与微分(一)复习第二章(二)⑴极限运算法则⑵因式分解法“约去0因子”⑶观察法“有理分式函数x→∞”⑷“重要极限”法★⑸“等价无穷小”代换法★⑹“初等函数连续”法⑺“复合函数极限法则”法★⑻“罗必达法则”法★1极限方法2函数的连续性①利用初等函数的连续性，求初等函数的间断点；②求初等函数的连续区间★；③已知分段函数连续，求待定常数★；判断分段函数在分段点连续的方法利用,求k利用,求k★等价无穷小量x→0时：①sinx∼x，②tanx∼x，③ln(1+x)∼x④(ex–1)∼x⑤*x=u(x)，只要u(x)→0结论仍成立。初等函数在其定义区间内任一点连续。重要极限

2、公式：主要学习内容导数的概念基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单函数的二阶导数学习要求1、理解导数的概念，知道可导与连续的关系2、知道导数的几何意义，会求切线方程3、掌握基本初等函数的导数公式4、掌握导数的四则运算法则5、会求简单函数的二阶导数重点导数公式和四则运算法则难点求导方法§3.1导数的概念3.1.1实例曲线的切线问题设函数f(x)连续，点P(x₀‚f(x₀))是区间内的一点‚求曲线y=f(x)在点P的切线斜率。解在曲线上另取一点Q(x₀+∆x‚f(x₀+∆x))，割线的斜率KPQ=P(x₀,y₀)Q(x₀+∆x,y₀+∆y)xy0x₀x₀+∆x∆yR切

3、线的斜率3.1.2导数的概念⑴函数f(x)在点x₀处导数定义⑵f′(x₀)的另一定义式⑶函数f(x)在点x₀处可导的充要条件⑷函数f(x)在某区间上导数⑸函数f(x)可导与连续的关系⑴函数f(x)在点x₀处导数定义3.1.1设函数y=f(x)在点x₀及其附近有定义，若极限存在，则称函数f(x)在点x₀处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x₀处的导数。记作还可表示例1求抛物线y=x²在点x=1处的切线的斜率。解∴抛物线y=x²在点x=1处的切线的斜率为2=2⑵f′(x₀)的另一定义式••记∆x=h•记x₀+∆x=x则∆x=x–x₀⑶函数f(x)在点x₀处可导的充要条

4、件（了解）•左导数••右导数•••函数f(x)在点x₀处可导⇔或⑴若函数f(x)在点x₀处可导，下列不等于f′(x₀)的是()。D例2注(C)′=0B⑷函数f(x)在某区间上导数•若函数f(x)在区间I内每一点可导，则称函数f(x)在区间I内可导。即对每一个x∈I，都有f(x)的一个导数值f′(x)与之对应，把f′(x)称为函数f(x)的导函数(简称导数)。记作即另一种形式表示••函数f(x)在点x₀处的导数f′(x₀)与函数f(x)的导函数f′(x)的关系例3设y=x³求y′,y′(1)。解=3x²一般地，y=xy′=(xα)′=x-1(α为任意实数)如：求f′

5、(3)。⑸函数f(x)可导与连续的关系（P64）例4考察函数在点x=0处的可导性。解函数在点x=0不可导曲线在点x=0处切线的倾角为π/2，即切线垂直x轴，且斜率为∞。而曲线在点x=0处连续。★注函数f(x)在点x₀可导⇒函数f(x)在点x₀连续；反之未必成立。例5设f(x)=

6、x

7、/x，则f′(1)=()。A.不存在B.0C.–1D.1例6下列结论中，正确的说法是()。f(x)在x=x₀处连续，则一定在x₀处可导B.f(x)在x=x₀处不连续，则一定在x₀处不可导C.f(x)在x=x₀处有极限，则一定在x₀处有定义D.f(x)在x=x₀处无极限，则一定在x₀处无定义B

8、B3.1.3导数的几何意义k=f′(x₀)曲线y=f(x)在点(x₀‚y₀)处的切线方程法线方程例7求过曲线上的点x=1处的切线方程。解x=1代入已知，y=1曲线在点(1‚1)处的切线方程为§3․2导数的基本公式与运算法则1基本初等函数的导数公式2导数的四则运算法则3高阶导数3.2.1基本初等函数的导数公式P66例1用导数定义求下列函数的导数（求导方法了解）①y=logax②y=ax③y=sinx解①思考下列函数的导数2导数的四则运算法则P67设函数u=u(x)，v=v(x)均可导，则例2求导数解=2cos2x例3求导数⑴y=tanx⑵y=secx解=secxtanx=

9、sec²x同样3.2.3高阶导数f(x)的导函数，若可导，称它的导数为f(x)的二阶导数。记作类似定义n阶导数记作二阶、二阶以上的导数统称高阶导数。称f′(x)为函数y=f(x)的一阶导数。注这里以二阶导数为主。例4解小结1函数f(x)在点x₀处导数定义2函数f(x)可导与连续的关系3曲线y=f(x)在点(x₀‚y₀)处的切线方程4基本初等函数的导数公式5导数的四则运算法则6高阶导数f′′(x)、f′′(x₀)预习§3-3§3-4