第2章：导数与微分.ppt

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1、高等数学（上）1导数的概念2函数求导法则3隐函数及参数方程确定的函数的求导法则4函数的微分5应用模型（二）第2章导数与微分本章主要内容微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton2.1导数的概念本节内容2.1.1导数的定义2.1.2导数的几何意义2.1.3可导与连续的关系一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则t0到t的平均速度为而在t0时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线

2、MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义存在,并称此极限为记作:即若定义1设函数在点的某邻域内有定义,则称函数在点处可导,在点的导数.若上述极限不存在,就说函数f(x)在点x0不可导。若若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在I内可导.也称在的导数为无穷大.例1.求函数(C

3、为常数)的导数.解:即例2.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，例3.求函数的导数.解:则即类似可证得三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为曲线在点处的切线方程:法线方程:四、函数的可导性与连续性的关系反例:在x=0处连续,但不可导.尖点可导必连续；连续不一定可导在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作：(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设函数有定义,存在,定理2.函数且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)在点可导的充分必要条件是内容小结1.导数的实质:增量比的极限3.导数的几何意义:切线的斜率4.可导必连续,但连续

4、不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.作业P354,52.2函数的求导法则本节内容2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则2.2.2反函数的求导法则2.2.3复合函数的求导法则2.2.4基本初等函数的导数公式注意：2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则定理1.u=u(x)及v=v(x)的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数例4求函数f(x)＝cosxlnx的导数。例5求函数f(x)＝tanx的导数。解：解：即练习1、求函数f(x)＝cotx的导数。2、求

5、函数f(x)＝secx的导数。解：即类似可得2.2.2反函数的求导法则如果单调连续函数在某区间内可导，则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有或证因为是的反函数，所以有上式两边对x求导得：或或所以解：y=arcsinx是x=siny的反函数因此在对应的区间（-1，1）内有例6求函数y=arcsinx的导数）内单调且可导，在区间（而2,2sinpp-=yx。0cos)(sin¹=¢yyy且同理定理2.2.3设y＝f(u)，u＝g(x)，且u＝g(x)在点x处可导，f(u)在相应的点u处可导。则复合函数y＝f[g(x)]在点x处可导，且或写成2.2.3复合函数的求导法则显然，上述

6、复合函数求导法则可以推广到多个函数复合的情形。例如，如果y＝f(u)，u＝g(v)，v＝h(x)，满足定理2.2.3的条件，则有上式右端按y→u→v→x的顺序求导，通常称为链式法则。关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.例7求函数的导数。解：原函数是和复合而成，因此实际应用复合函数求导法则时，不一定要明确写出中间变量，只需自己记清楚就可以了。对于本题，可以这样解答：解：练习y=cos(1+x2)可看作y=cosu和u=1+x2复合而成1、2、解：y=(tanlnx)2可看作y=u2、u=tanv和v=lnx复合而成2.2.4基本初等函数的导数公式（P38）(2)(3)(4)(5)

7、(6)(1)(c为常数)(7)(8)(9)(10)(13)(14)(15)(16)(11)(12)1、求下列函数的导数（其中只有x、t是自变量）求导例题（1）解:这一类函数的特点是：分母只是x的幂函数。对这类函数用负指数最简便，如果用函数相除的求导公式也可以求解，但比较麻烦。解：（3）解：对括号的若干次方这一类函数求导用复合函数求导法则最简便，一般不要把括号展开。（4）解:（5）解:作业P38-391（双数题）3（单数题）6凡是因变量y用自变量x的表达式表