第3章(导数与微分)

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1、江西理工大学理学院第三章导数与微分江西理工大学理学院第1节导数的概念江西理工大学理学院一、问题的提出1、自由落体运动的瞬时速度问题如图,求t时刻的瞬时速度,0t0取一邻近于t0的时刻t,运动时间∆t,∆t∆ss−sgt0平均速度v===(t+t).0∆tt−t20当t→t时,取极限得0g(t+t)0瞬时速度v=lim=gt.0t→t02江西理工大学理学院2、切线问题割线的极限位置——切线位置播放播放江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江

2、西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院2.切线问题割线的极限位置——切线位置江西理工大学理学院y如图,如果割线MN绕点y=f(x)NM旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线TC在点M处的切线.CMαϕ极限位置即oxxx0MN→0,∠NMT→0.设M(x0,y0),N(x,y).y−yf(x)−f(x)00割线

3、MN的斜率为tanϕ==,x−xx−x00沿曲线CN⎯⎯→⎯⎯M,x→x,0f(x)−f(x)0切线MT的斜率为k=tanα=lim.x→x0x−x0江西理工大学理学院二、导数的定义1、定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内0有定义,当自变量x在x0处取得增量∆x(可正可负，且点x0+∆x仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量∆y=f(x0+∆x)−f(x0);如果∆y与∆x之比当∆x→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函0数y=f(x)在点x处的导数,记为y′,0x=x0江西理工大学理学院dydf(x)或,x=x0x=x0dxdx∆

4、yf(x+∆x)−f(x)y′=lim=lim00即x=x0∆x→0∆x∆x→0∆xf(x+h)−f(x)00其它形式f′(x0)=lim.h→0hf(x)−f(x)0f′(x)=lim.0x→x0x−x0江西理工大学理学院关于导数的说明：★点导数是因变量在点x处的变化率,它0反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.江西理工大学理学院★对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数f(x)的导函数.dydf(x)记作y′,f′(x),或.dxdxf(x+

5、∆x)−f(x)即y′=lim∆x→0∆xf(x+h)−f(x)或f′(x)=lim.h→0h注意:1.f′(x0)=f′(x)x=x0.江西理工大学理学院★单侧导数1.左导数:f(x)−f(x)f(x+∆x)−f(x)000f′(x)=lim=lim;−0x→x0−0x−x∆x→−0∆x02.右导数:f(x)−f(x)f(x+∆x)−f(x)000f′(x)=lim=lim;+0x→x0+0x−x∆x→+0∆x0★函数f(x)在点x处可导⇔左导数f′(x)和右0−0导数f′(x)都存在且相等.+0江西理工大学理学院★如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f′(a

6、)及+f′(b)都存在，就说f(x)在闭区间[]a,b上可导.−⎧ϕ(x),x≥x★0设函数f(x)=⎨,讨论在点x0的⎩ψ(x),x

7、);∆yf(x+∆x)−f(x)(2)算比值=;∆x∆x∆y(3)求极限y′=lim.∆x→0∆x例1求函数f(x)=C(C为常数)的导数.f(x+h)−f(x)C−C解f′(x)=lim=lim=0.h→0hh→0h即(C)′=0.江西理工大学理学院n例2求函数y=x(n为正整数)的导数.nnn(x+h)−x解(x)′=limh→0hn−1n(n−1)n−2n−1n−1=lim[nx+xh+L+h]=nxh→02!nn−1即(x)′=nx.µµ−1更一般地(x)′=µx.(µ∈R)111−1例如,(x)′=x2=.22x1−1−1−1=−(x)′=(−1)x2