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1、第2章导数与微分教学目的1．理解导数和微分的概念、导数与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的的关系；2．熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；3．了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的阶导数；4．会求分段函数的导数；5．会求隐函数和由参数方程确定的函数的导数，会求反函数的导数。教学重点1．导数和微分的概念、导数与微分的关系；2．导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3．基本初等函数的导数公式；4．高阶导数；5．隐函数和由参
2、数方程确定的函数的导数。教学难点1．复合函数的求导法则；2．分段函数的导数； 3．反函数的导数 4．隐函数和由参数方程确定的导数。38§1导数的概念一、引例微积分的创立是为了处理17世纪社会生产实践和科学技术问题，其中非匀速直线运动的速度，曲线的切线等都可归结为一类特殊的极限—导数。1．直线运动的速度设某质点沿坐标轴上作非匀速运动，时刻t动点的坐标为s，s是t的函数：求动点在时刻t0的速度。考虑比值是动点在时间段（或）内的平均速度。如果时间较短，这个比值近似于动点在时刻t0的速度。如果时，平均速度的极限存在就把这个极限值称为动点在时刻t0的（瞬时）速度，即2．切线的斜率如图所示，曲
3、线在其上一点处的切线是割线当动点沿此曲线无限接近于点时的极限位置。由于割线的斜率为如果当时的极限存在，则此极限就是切线的斜率，即二、导数的定义上述两个问题，前一个是运动学的问题，后一个是几何学的问题，但是它们都可以归结为同一种类型的极限。定义1设函数在点的某一邻域内有定义，若极限(1)存在，则称函数在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为38，注：（1）如果(1)式极限不存在，则称在点处不可导。特别地，如果时，习惯上称在点处的导数为无穷大，写成。（2）令，则有(2)所以，导数就是增量之比的极限。这个增量之比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为函数在处的变化率
4、。（3）如果（）存在，则称此极限为函数在点处的左导数（右导数），记为（）左导数和右导数统称为单侧导数。结论：函数在点处可导的充分必要条件是和都存在且相等。（4）如果函数在区间I上每一点都可导（区间端点处仅考虑相应的单侧导数），就称函数在区间I上可导。这时，对于任一xÎI，都对应着的一个确定的导数值，这样构成的一个新的函数叫做函数的导函数。记为，，或导函数也简称为导数。把（2）式中的换成，有（3）例1求（为常数）的导数。例2求的导数。更一般地，有幂函数的导数例3求的导数。解由于因此38同理可求得。例4求的导数。解即特别地，当时三、导数的几何意义函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率（如
5、图）。因此，曲线在点处的切线方程为法线方程为()例5求曲线在点处的切线方程与法线方程。四、可导与连续的关系设函数在点处可导，则，故是当时的无穷小，因此所以函数在点处连续。结论若函数在点可导，则在点连续。注：可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件。例6函数在内连续，但在点处不可导。（图示）例7函数在内连续，但在点处不可导。（图示）38作业:习题2-16;11;14；17.§2求导法则一、导数的四则运算如果函数和在点可导，则它们的和、差、积、商（分母为0的点除外）都在点可导，并且（1）；（2）；（3）（验证（2））注：法则（1）、（2）可推广到有限个可导函数的情形。如特别地，
6、。例1设，求。例2设,求。例3设,求。同理可得例4设,求。同理可得二、反函数的导数如果是的反函数，则即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。例5求的导数，。例6求的导数。三、复合函数的导数如果在点可导，在点可导,则复合函数在点可导，且或证由于在点可导，因此存在，于是据极限与无穷小的关系有38其中是时的无穷小。上式中，用乘上式两边，得当时,规定,这时因,用除上式两边,得于是由于在点可导,故在该点连续,于是当时,,从而可以推得并且所以即定理得证。注：复合函数的求导公式亦称为链式法则，对于由多个函数复合而得的复合函数，其导数公式可反复应用而得。例7设,求。例8设，求。例9设，求。例10设求
7、。，例11设，证明。四、求导公式基本初等函数的导数公式列出如下:（1）,（2）,（3）,（4），（5）,（6），（7）,（8），（9）,（10），（11），（12），（13）,（14）38（15）,（16）。例12设，求。例13设可导，，求。作业:习题2-22(2)(10);8(1)(3)(5)(7);10(1);11(1)(2)(3)(6)(7)(8).§3高阶导数定义若在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记为，即同时称在点二阶可导。·若在区间上每一点都二阶可
