定积分2011.ppt

《定积分2011.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、6.4定积分的应用6.5广义积分初步6.3定积分的计算法6.1定积分的概念及性质6.2微积分基本定理第六章定积分一、定积分的定义二、定积分的性质机动目录上页下页返回结束6.1定积分的概念及性质第六章一、定积分定义任意分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作机动目录上页下页返回结束积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即机动目录上页下页返回结束定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动目录上页下页返回结束可

2、积的充分条件:机动目录上页下页返回结束二、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)机动目录上页下页返回结束6.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束7.设则8.积分中值定理则至少存在一点使性质7目录上页下页返回结束二、牛顿–莱布尼兹公式一、变上限积分函数机动目录上页下页返回结束6.2微积分基本公式第六章一、变上限积分函数则变上限函数机动目录上页下页返回结束定理1.若即变限积分求导公式：机动目录上页下页返回结束（重点）（1）（2）（3）例1求解例3.求解:原式说明目录上页下页返回结束例2：求解：例4：求解:原式解:原式二、牛顿–莱布尼兹

3、公式(牛顿-莱布尼兹公式)机动目录上页下页返回结束定理2.函数,则牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.例5.计算解:机动目录上页下页返回结束练习二例1：求例2：设求例3：二、定积分的分部积分法不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法6.3定积分的计算法第六章一、定积分的换元法（重点）定理1.设函数单值

4、函数满足:1)2)在上机动目录上页下页返回结束则注意：1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.（代换法）2)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限机动目录上页下页返回结束（凑微分）例1.计算解:令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且例2：求解：方法二：例3求解例4.证（不要求）(1)若(2)若机动目录上页下页返回结束偶倍奇零为偶函数，为奇函数，例5：（1）(2)(3)（提示：利用“偶倍奇零”的性质。）例5：（1）(2)例5：（1）二、定积分的分部积分法（重点）定理2.则机动目录上页下页返回结束或例6.计算解:原式=机动目录上页下页

5、返回结束例7：求解：例8:求解:练习三求下列积分：二、旋转体的体积一、平面图形的面积机动目录上页下页返回结束6.4定积分的应用第六章一、平面图形的面积（重点）机动目录上页下页返回结束例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积（重点）问题1：连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有问题2：连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立

6、体体积时,有机动目录上页下页返回结束例4.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解:则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束练习四例1：求由曲线和直线围成的平面图形面积。例2：求由所围图形的面积及其绕轴旋转体体积。例3：求由曲线所围图形绕轴和轴旋转一周而成的立体体积。二、无界函数的反常积分（不要求）常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分机动目录上页下页返回结束反常积分(广义积分)6.5广义（反常）积分初步第六章定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,机动目录上

7、页下页返回结束一、无穷限的反常积分则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.机动目录上页下页返回结束引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束例1.计算反常积分例2.证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.(要求会应用该结论)因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束练习五例1：求例2：求例3：求例4：当_____收敛；当_____发散。