数理方程期末试题-07-08-2-B-答案.doc

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1、北京交通大学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B）（参考答案）学院_____________专业___________________班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五六七八总分得分阅卷人一、计算题（共80分，每题16分）1．求下列定解问题（15分）2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）3．设弦的两端固定于及，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移。“数理方程”期末试卷第

2、5页（共2页）[解]问题的定解条件是由初始条件可得1．证明在变换下，波动方程具有形式解，并由此求出波动方程的通解。2．用分离变量法解下列定解问题[提示：1)可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2)利用参数变易法。][解]对应齐次方程的定解问题的固有函数是，其解可以表示成把原问题中非齐次项按照固有函数展开成级数因此有利用参数变易法，有“数理方程”期末试卷第5页（共2页）于是1．用Bessel函数法求解下面定解问题[解]用分离变量法求解。令，则可得以及设为Bessel函数的正零点，则问题（II）的特征值和特征函数分别为问题（I）的解为

3、于是原问题的解是由初始条件得到“数理方程”期末试卷第5页（共2页）故于是最后得到原问题的解是一、证明题（共2分，每题10分）1．证明平面上的Green公式其中C是区域D的边界曲线，ds是弧长微分。[证明]设在D+C上有一阶连续偏导数，n为C的外法线方向，其方向余弦为，则有再设u,v在D内有二阶连续偏导数，在D+C上有一阶连续偏导数，令得到交换u,v，得到上面第二式减去第一式，得到“数理方程”期末试卷第5页（共2页）证毕。1．证明关于Bessel函数的等式：“数理方程”期末试卷第5页（共2页）