数理方程试题2008a答案

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1、《数学物理方程与特殊函数》课程试卷（2008A卷）标准答案及评分标准2222222∂u2⎛∂u∂u⎞∂u2⎛∂u∂u⎞∂u∂u一、=a⎜+⎟，=a⎜+⎟，+=0（每个3分，共9分）2⎜22⎟⎜22⎟22∂t⎝∂x∂y⎠∂t⎝∂x∂y⎠∂x∂y二、用格林函数法求解拉普拉斯方程的思路是，先求解具有相同区域齐次边界条件下点源的拉普拉斯方程的解即格林函数（5分），然后将原问题的解表示成格林函数与源的积分，以及格林函数的方向导数与边界条件的积分（5分）。11x+at三、u(xt),=[]ϕ(x+at)+ϕ(x−at)+∫ψ(ξd)ξ（5分）22ax−at它的物理意义是，第一项表示初始位移的效果

2、，第二项表示初始速度的效果。一个波动问题在x处t时的位移和x±at处的初始位置有关、和这两点之间的初始速度有关。（6分）四、u(ρ,θ)=Ρ(ρ)Θ(θ)，（2分）1∂1()ρΡ′Θ+ΡΘ′′=0，（1分）2ρ∂ρρ11Ρ′′Θ+Ρ′Θ+ΡΘ′′=0，2ρρ1Ρ′′+Ρ′ρΘ′′=−=λ，（1分）1ΘΡ2ρ2ρΡ′′+ρΡ′−λΡ=0，Θ′′+λΘ=0（2分）⎧Θ′′+λΘ=,00≤θ≤2π⎨（1分）⎩Θ)0(=Θ2(π)2当λ=−β<0时，无非零解，（1分）当λ=0时，解为当Θ=A（1分）002当λ=β>0时，Θ=Acosβθ+Bsinβθ，由边界条件得β=n，n=,3,2,1?n

3、Θ=Acosnθ+Bsinnθ，（1分）nnnΡ满足的方程为欧拉方程。2当λ=0时，ρΡ′′+ρΡ′=0，通解为Ρ=C+Dlnρ，（1分）00000222n−n当λ=n>0时，ρΡ′′+ρΡ′−nΡ=0，通解为Ρ=Cρ+Dρ，（1分）nnnnn从u,0(θ)<+∞可得Ρ)0(<+∞，所以D=0,D=0,n0n所以Ρ=C，Ρ=Cρ，（1分）00nnnn得u=ΘΡ=[Acosnθ+Bsinnθ]Cρ=[Ecosnθ+Fsinnθ]ρnnnnnnnnu=ΘΡ=AC=E000000∞∞∑∑[]nu=u=E+Ecosnθ+Fsinnθρ（2分）n0nnn=0n=1∞因为u,1(θ)=f(θ)=

4、E0+∑[]Encosnθ+Fnsinnθ（1分）n=112π12π12πE=f(θd)θ,E=f(θ)cosnθdθ,F=f(θ)sinnθdθ（3分）0∫0n∫0n∫02πππ五、u(x,t)=X(x)Tt)(（2分）2aXT′′=X′′T（1分）X′′2T′′=a=−λ（1分）XTλX′′+λX=0，T′′+T=0（2分）2a∂u,0(t)∂u,1(t)从边界条件=,0=0，可以得出X′)0(=,0X′(l)=0，（1分）∂x∂x所以关于x的定解问题就是：⎧X′′+λX=,00

5、根据边界条件得：βl−βlX′)0(=Aβ−Bβ=,0X′(l)=Aβe−Bβe=0，得A=B=0，所以这时X(x)=0，平凡解，舍去不要（1分）当λ=0时，X(x)=Ax+B，根据边界条件得A=0，这时X(x)=B（1分）002当λ=β>0时，X(x)=Asinβx+Bcosβx，根据边界条件得X′)0(=A=,0X′l)(=−Bβsinβl=0，β=nπ,n=,3,2,1?，n22λ=nπ，X(x)=Bcosnπx（1分）nnn∞特征函数为cosnπx，u=∑vn(t)cosnπx，n=,3,2,1,0?（2分）n=0∞[]222∑vn′(t)+anπvn(t)cosnπx=si

6、nt（2分）n=0因为sint和x无关，当n=0时，v′(t)=sint，v)0(=0，vt)(=1−cost（1分）000当时，222，n≠0v′(t)+anπv(t)=0v)0(=0，vt)(=0（1分）nnnn所以u=1−cost（1分）六、两边对x取傅里叶变换，dU(ω,t)22=−aωU(ω,t)（5分）dtU(ω)0,=1（3分）22−aωtU(ω,t)=e，（4分）x2ω2σ2x21−2−1−σ2t−a2ω2t再取傅里叶反变换，e2σ↔e2，e4↔e（2分）2πσ2aπt2x1−2u(x,t)=e4σt，（2分）2aπt七、2)1()1()1()1()1()1(R⎛μm

7、⎞⎛μk⎞⎛R⎞Rμm⎛μm⎞⎛μk⎞μmrJ⎜r⎟J⎜r⎟dr=⎜⎟rJ⎜r⎟J⎜r⎟dr（2分）∫00⎜R⎟0⎜R⎟⎜μ)1(⎟∫0R0⎜R⎟0⎜R⎟R⎝⎠⎝⎠⎝m⎠⎝⎠⎝⎠2)1(⎡)1()1(⎤⎛R⎞R⎛μ⎞μ⎛μ⎞⎜⎟⎜k⎟m⎜m⎟=⎜)1(⎟∫0J0⎜Rr⎟d⎢RrJ1⎜Rr⎟⎥（2分）⎝μm⎠⎝⎠⎢⎣⎝⎠⎥⎦2⎡)1()1()1()1()1()1(⎤⎛R⎞⎛μk⎞μm⎛μm⎞Rμm⎛μm⎞⎛μk⎞=⎜⎜)1(⎟⎟⎢J0⎜⎜r⎟⎟rJ1⎜⎜r⎟