数理方程试题2008b答案

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1、《数学物理方程与特殊函数》课程试卷（2008B卷）标准答案及评分标准一、u(x,t)=X(x)Tt)(（1分）2XT′′=aX′′T（1分）X′′1T′′==−λ（1分）2XaT2X′′+λX=0，T′′+λaT=0（2分）u,0(t)=X)0(Tt)(=,0u,(tl)=Xl)(Tt)(=0，X)0(=,0Xl)(=0（2分）2βx−βx当λ=−β<0时，X(x)=Ae+Be，根据边界条件得：βl−βlX)0(=A+B=,0X(l)=Ae+Be=0，得A=B=0，所以这时X(x)=0，（1分）当λ=0时，X(x)=Ax+B，根据边界条件得A=B=0，这时X(x)=0（1分

2、）2当λ=β>0时，X(x)=Acosβx+Bsinβx，根据边界条件得X)0(=A=,0X(l)=Bsinβl=0，β=nπl,/n=,3,2,1?，n不同，对应的β，并且2nπ有一系列的β，记之为β，同样有λ=(nπ/l)，X(x)=Bsinx，（2分）nnnnl222nπanπanπaT′′+T=0，T=C′cost+D′sint（2分）n2nnnnlllnπnπanπanπanπanπu=XT=Bsinx(C′cost+D′sint)=(Ccost+Dsint)sinxnnnnnnnnllllll∞∞nπanπanπu=∑un=∑(Cncost+Dnsint)sin

3、x（2分）n=1n=1lll∞∞nπ∂u(x)0,nπanπu(x)0,=∑Cnsinx=ϕ(x)，=∑Dnsinx=ψ(x)（2分）n=1l∂tn=1ll2lnπ2lnπC=ϕ(x)sinxdx，D=ψ(x)sinxdx（2分）n∫0n∫0llnπal二、令u(x,t)=V(x,t)+W(x)，（1分）12要求W′)0(=0，W′)1(=1，可得W(x)=x（2分）2关于V的定解问题为：2⎧∂V∂V⎪=2,00∂t∂x⎪⎪∂V,0(t)∂V,1(t)⎨=,0=,0t>0（1分）⎪∂x∂x⎪12V(x)0,=−x,0≤x≤1⎪⎩2V(x,t)=X(x)T(t)

4、（1分）2T′X=aTX′′（1分）T′X′′==−λ（1分）2aTX2X′′+λX=,0T′+aλT=0（1分）⎧X′′+λX=000时，X′′+βX=0，X=Asinβx+Bcosβx，由边界条件得β=nπ，X=Bcosnπx（2分）nnn22222−nπt当λ=β>0时，T′+nπT=0，T=Ae（1分）nnnn当λ=0时，T=A（1分）0022

5、22−nπt−nπtV=XT=ABecosnπx=Cecosnπx，n≠0nnnnnn∞∞22−nπt，（1分）V=B0A0+∑un=C0+∑Cnecosnπxn=1n=1∞12V(x)0,=−x=C0+∑Cncosnπx，2n=11121C=−xdx=−，0∫02611212112C=−2xcosnπxdx=−xcosnπxdx=−xdsinnπxn∫0∫0∫02nπ1⎡211⎤2121=−xsinnπx

6、−2xsinnπxdx=xsinnπxdx=−xdcosnπxnπ⎢⎣0∫0⎥⎦nπ∫0n2π2∫02⎡11⎤2n=−xcosnπx

7、−cosnπxdx=−(−)1n2

8、π2⎢⎣0∫0⎥⎦n2π2∞12n−n2π2t（2分）V=−−∑(−)1ecosnπx226n=1nπ∞1212n−n2π2t（1分）u=V+W=x−−∑(−)1ecosnπx2226n=1nπ三、22特征方程为y−2xy−3x=(y−3x)(y+x)，（2分）作特征变换ξ=y−3x，η=y+x，（1分）2∂u这时方程为=0，（2分）∂ξ∂η通解为u=f(ξ)+f(η)=f(y−3x)+f(y+x)，（2分）12122−x利用初始条件u(x)0,=e=f(−3x)+f(x)，（1分）12∂u(x)0,1=0=f′(−3x)+f′(x)，−f(−3x)+f(x)=C（2分）1

9、212∂y33−x233−x29/33−x23f(−3x)=e−C，f(x)=e−C，f(x)=e+C，（2分）1124444443−()y−3x233−()y+x233−()y−3x23−()y+x2u=f(y−3x)+f(y+x)=e−C+e+C=e+e12444444（2分）四、d1对y取拉普拉斯变换[pU(x,p)−1]=，（3分）dxpd1pU(x,p)=，（2分）dxpxU(x,p)=+C，（2分）2p11边界条件U,0(p)=+，（2分）2ppx11所以U(x,p)=++，（2分）22pppu(x,y