数理方程习题答案.docx

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1、习题2.12.解：振动方程：边界条件：初始条件：习题2.23.解：根据牛顿冷却定律有：∴初始条件为：习题2.33.解：21/21习题2.42.<4）解：该方程为一般二阶线性偏微分方程，首先对其进行化简：特征方程：解得：作代换：所以：于是有:是原方程的解。21/21习题2.52.证明：显然由含参变量的求导法则，有<此处f(x,t?>）另外有：证毕。习题2.62.证明：由δ函数的定义可得：<1）21/21其中,，并且均为内点。在可逆变换下有：<2）由<1）式和<2）式得：。在极坐标下有：证毕。习题3.13.<4）解：①β=0：即X无非零解；②β≠0：

2、综上所述，固有值是:(β满足>21/21固有函数为：习题3.24.解：分离变量：带入原方程得：令得由边界条件得：令得固有值问题：①，无非零解；②，③，综合时的情况得特征值为特征函数为21/21对应于每一个，的解为：于是，满足原方程和边界条件的级数解为：代入初始条件：∴当n=0时：当n≠0时：∴定解问题的解为：习题3.33.解：定解问题：令，代入方程分离变量得：21/21由周期性条件有，由有。固有值问题：①时，无非零解；②时，；③，由周期性条件得的解为：由得：∴∴于是有：21/21∴因此，定解问题的解为：习题3.42.解：⑴时空变量分离令，代入原方

3、程并整理得：进一步得到：⑵空间变量分离再令并分离变量得：⑶求解固有值问题21/21相加得到关于V的固有值问题的固有值为：<什么是固有频率）相应于，有：固固有振动频率为：习题3.52.解：令，将定解问题进行初始扰动和强迫振动分离：III由分离变量法得I的解为：对于II，先考虑相应齐次方程的定解问题：21/21用分离变量法解得：于是由齐次化原理得：固原定解问题的解为：3.解：考虑相应齐次方程的定解问题：由分离变量得该定解问题的解为：由齐次化原理1有：21/21习题3.61.解：⑴边界条件齐次化令。则：∴将代入原方程得：再将上述定解问题分解为只含初始扰

4、动和只含强迫振动定解问题III①通过分离变量法解得I的解为：21/21<系数未求）4.解：定解问题：边界条件齐次化，设：要使方程和边界条件同时齐次化，则：∴，并且：设，代入并整理得：∴于是得到固有值问题：21/21解得对应于每个固有值，∴<系数怎么求）习题4.11．<2）解：根据一维波动方程的达朗贝尔公式有6.<1）解：根据一维波动方程一般强迫振动的解公式有习题4.21.解:根据端点固定的半无界弦的自由振动的解公式有21/212．解：齐次波动方程的通解为由初始条件有习题4.31.解：由无界三维空间自由振动的泊松公式有3.解：由无界三维空间自由振动

5、的泊松公式有21/21习题4.41.解：令，可将定解问题分解为由泊松公式得<2）对应的齐次化定解问题为21/21令，得由泊松公式∴<2）的解为∴原定解问题的解为习题5.11.证明：21/21由题意有∴令，则2.<2）证明：5.解：21/21习题5.21.解：⑴对定解问题作对应于空间变量傅里叶变换得⑵求像函数于是∴⑶求原像函数21/214.解：⑴对定解问题作关于空间变量x的傅里叶变换⑵求像函数当时：A=0当时：B=0⑶求原像函数由卷积定理这里21/21∴习题5.33.解：由于，，都是一级极点，所以由展开定理有所以，最后结果为5.解：令：f(t>=t

6、n，则f(n>(t>=n!，且：由微分定理∴7.<1）解：21/21对原式进行分解得∴习题5.4申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。21/21