数理方程习题综合

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1、例1.1.1设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程vxy=xy的通解。解原方程可以写成ð／ðx（ðv／ðy）=xy两边对x积分，得vy=¢（y）+1/2x2Y,其中¢（y）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y积分，得方程得通解为v（x,y）=∫vydy+f（x）=∫¢（y）dy+f（x）+1/4x2y2=f（x）+g（y）+1/4x2y2其中f（x）,g（y）是任意两个二阶可微函数。例1.1.2即u(ξ,η)=F(ξ)+G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。例1.2.1设有一根长为L

2、的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。取定弦的运动平面坐标系是OXU,弦的平衡位置为x轴，弦的长度为L，两端固定在O,L两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x点在时刻t的位移。由于弦做微小横振动，故ux≈0.因此α≈0，cosα≈1,sinα≈tanα=ux≈0,其中α表示在x处切线方向同x轴的夹角。下面用微元法建立u所满足的偏微分方程。在弦上任取一段弧,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明，张力T是一个常数，

3、即T与位置x和时间t的变化无关。事实上，因为弧振动微小，则弧段的弧长≈。这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke定律，张力T与时间t无关。因为弦只作横振动，在x轴方向没有位移，故合力在x方向上的分量为零，即T(x+)cosα’-T(x)cosα=0.由于co'sα’≈1，cosα≈1,所以T(X+x)=T(x),故张力T与x无关。于是，张力是一个与位置x和时间t无关的常数，仍记为T.作用于小弧段的张力沿u轴方向的分量为Tsinα’-Tsinα≈T(ux(x+,t)-ux(x,

4、t)).设作用在该段弧上的外力密度函数为F（x,t）那么弧段在时刻t所受沿u轴方向的外力近似的等于F(x,t).由牛顿第二定律得T（ux(x+,t)-ux(x,t)+F(x,t)=ρ,其中ρ是线密度，由于弦是均匀的，故ρ为常数。这里是加速度在弧段上的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得Tu（x+θ，t)+F(x,t)=ρ,0<θ<1.消去，并取极限→0得Tu（x,t）+F(x,t)=ρu,即u=ɑu+ƒ(x,t),00,其中常数ɑ=T/ρ，函数ƒ（x,t）=F(x,

5、t)/ρ表示在x处单位质量上所受的外力。上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波动方程。当外力作用为零时，即ƒ=0时，方程称为弦的自由横振动方程。类似地，有二维波动方程u=ɑ（u+u）+ƒ（x.y.t）,(x,y),t>0,电场E和磁场H满足三维波动方程和,其中c是光速和。例1.2.2设物体Ω在内无热源。在Ω中任取一闭曲面S（图1.2）。以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻，M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier热传导定律，在无穷小时段dt内流过物体

6、的一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt，曲面面积dS以及物体温度u沿曲面的外法线n的方向导数三者成正比，即,其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。我们规定外法线n方向所指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故当时，热量实际上是向-n方向流去。对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间区域为V，那从时刻到时刻经曲面流出的热量为=设物体的比热容为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V内，温度由u(x,y,z,)到u(x

7、,y,z)所需的热量为.根据热量守恒定律，有即假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得.由于时间间隔及区域V是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内任意一点都有(1.2.6)方程称为非均匀的各向同性体的热传导方程。如果物体是均匀的，此时k,c及ρ均为常数，令=，则方程(1.2.6)化为,(1.2.7)它称为三维热传导方程若物体内有热源，其热源密度函数为，则有热源的热传导方程为(1.2.8)其中类似地，当考虑的物体是一根均匀

8、细杆时如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同，那么温度只与有关，方程变成一维热传导方程（1.2.9）同样，如果考虑一块薄板的热传导，并且薄板的侧面绝热，则可得二维热传导方程（1.2.10）（P16)例1.3.1一长为L的弹性杆，一端固定，另一端被拉离平衡位置b而静止，放手任其振动。试写出杆振动的定解问题。解取如图1.3所示的坐标系。OLL+bx泛定方程就是一维波动方程（杆的纵振动方程）u=au,0