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1、WORD完美整理版例1.1.1设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程vxy=xy的通解。解原方程可以写成ð／ðx（ðv／ðy）=xy两边对x积分，得vy=¢（y）+1/2x2Y,其中¢（y）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y积分，得方程得通解为v（x,y）=∫vydy+f（x）=∫¢（y）dy+f（x）+1/4x2y2=f（x）+g（y）+1/4x2y2其中f（x）,g（y）是任意两个二阶可微函数。例1.1.2即u(ξ,η)=F(ξ)+G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。例1.2.1设有一根长为L的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振
2、动。试确定该弦的运动方程。取定弦的运动平面坐标系是OXU,弦的平衡位置为x轴，弦的长度为L，两端固定在O,L两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x点在时刻t的位移。由于弦做微小横振动，故ux≈0.因此α≈0，cosα≈1,sinα≈tanα=ux≈0,其中α表示在x处切线方向同x轴的夹角。下面用微元法建立u所满足的偏微分方程。在弦上任取一段弧,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明，张力T是一个常数，即T与位置x和时间t的变化无关。事实上，因为弧振动微小，则弧段的弧长≈。这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke定律，张力T与时间t无关。因为
3、弦只作横振动，在x轴方向没有位移，故合力在x方向上的分量为零，即范文范例参考指导WORD完美整理版T(x+)cosα’-T(x)cosα=0.由于co'sα’≈1，cosα≈1,所以T(X+x)=T(x),故张力T与x无关。于是，张力是一个与位置x和时间t无关的常数，仍记为T.作用于小弧段的张力沿u轴方向的分量为Tsinα’-Tsinα≈T(ux(x+,t)-ux(x,t)).设作用在该段弧上的外力密度函数为F（x,t）那么弧段在时刻t所受沿u轴方向的外力近似的等于F(x,t).由牛顿第二定律得T（ux(x+,t)-ux(x,t)+F(x,t)=ρ,其中ρ是线密度，由于弦是均匀的，故ρ为常
4、数。这里是加速度在弧段上的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得Tu（x+θ，t)+F(x,t)=ρ,0<θ<1.消去，并取极限→0得Tu（x,t）+F(x,t)=ρu,即u=ɑu+ƒ(x,t),00,其中常数ɑ=T/ρ，函数ƒ（x,t）=F(x,t)/ρ表示在x处单位质量上所受的外力。上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波动方程。当外力作用为零时，即ƒ=0时，方程称为弦的自由横振动方程。类似地，有二维波动方程u=ɑ（u+u）+ƒ（x.y.t）,(x,y),t>0,电场E和磁场H满足三维波动方程和,其中c是光速和。例1.2
5、.2设物体Ω在内无热源。在Ω中任取一闭曲面S（图1.2）。以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻，M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier热传导定律，在无穷小时段dt内流过物体的一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt，曲面面积dS以及物体温度u沿曲面的外法线n的方向导数三者成正比，即,范文范例参考指导WORD完美整理版其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。我们规定外法线n方向所指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故当时，热量实际上是向-n方向流去。对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间区域为V，那从时刻
6、到时刻经曲面流出的热量为=设物体的比热容为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V内，温度由u(x,y,z,)到u(x,y,z)所需的热量为.根据热量守恒定律，有即假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得.由于时间间隔及区域V是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内任意一点都有(1.2.6)范文范例参考指导WORD完美整理版方程称为非均匀的各向同性体的热传导方程。如果物体是均匀的，此时k,c及ρ均为常数，令=，则方程(1.2.6)化为,(1.2.7)它称为三维热传导方程若物体内有热源，其热源密度函数为
7、，则有热源的热传导方程为(1.2.8)其中类似地，当考虑的物体是一根均匀细杆时如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同，那么温度只与有关，方程变成一维热传导方程（1.2.9）同样，如果考虑一块薄板的热传导，并且薄板的侧面绝热，则可得二维热传导方程（1.2.10）（P16)例1.3.1一长为L的弹性杆，一端固定，另一端被拉离平衡位置b而静止，放手任其振动。试写出杆振动的定解问题。解取如图1.3所示的坐标系。OLL+bx
