数理方程习题.pdf

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1、习题11.对下列偏微分方程,指出它的阶,并指出它是线性的、拟线性的还是非线性的.若是线性的,再指出它是齐次的还是非齐次的.(1)u3x+2uuy=xy;(2)uuy−6xyux=0;(3)uxx−x2uy=sinx;(4)u3xx+u3x−cosu=ex;(5)uyuyyx−uxuxxy+u5=f(x,y);(6)ut−3uux+6uxxx=0.解.(1)是一阶非线性偏微分方程;(2)是一阶拟线性偏微分方程;(3)是二阶线性非齐次偏微分方程;(4)是二阶非线性偏微分方程;(5)是三阶拟线性偏微分方程;(6)是三阶非线性偏微分方程.2.证明二维拉普拉

2、斯算子在极坐标系(r,θ)下可以写成∂2u1∂u1∂2u∆u=++.∂r2r∂rr2∂θ2证.(方法一)极坐标系与直角坐标系之间的变换关系为x=rcosθ,y=rsinθ,或者为221yr=(x+y)2,θ=arctan.x于是∂rx∂ry==cosθ,==sinθ,∂xr∂yr∂θysinθ∂θxcosθ=−=−,==.∂xx2+y2r∂yx2+y2r从而∂u∂u∂r∂u∂θ∂u∂usinθ=+=cosθ−,∂x∂r∂x∂θ∂x∂r∂θr∂u∂u∂r∂u∂θ∂u∂ucosθ=+=sinθ+,∂y∂r∂y∂θ∂y∂r∂θr2∂2u∂2u∂2usin

3、θcosθ∂2usin2θ∂usin2θ∂usin2θ=cos2θ−2+++,∂x2∂r2∂r∂θr∂θ2r2∂rr∂θr2∂2u∂2u2∂2usinθcosθ∂2ucos2θ∂ucos2θ∂usin2θ=sinθ+2++−.∂y2∂r2∂r∂θr∂θ2r2∂rr∂θr2因此∂2u∂2u∂2u1∂u1∂2u+=++.∂x2∂y2∂r2r∂rr2∂θ2(方法二)因x=rcosθ,y=rsinθ,直接计算得∂u∂u∂x∂u∂y∂u∂u=+=cosθ+sinθ,∂r∂x∂r∂y∂r∂x∂y∂u∂u∂x∂u∂y∂u∂u=+=(−rsinθ)+rcosθ,∂

4、θ∂x∂θ∂y∂θ∂x∂y∂2u∂2u2∂2u∂2u2=cosθ+sin2θ+sinθ,∂r2∂x2∂x∂y∂y2∂2u∂2u22∂2u∂2u22∂u∂u=rsinθ−sin2θ+rcosθ−rcosθ−rsinθ.∂θ2∂x2∂x∂y∂y2∂x∂y因此∂2u1∂u1∂2u∂2u∂2u++=+.∂r2r∂rr2∂θ2∂x2∂y23.证明三维拉普拉斯算子在柱面坐标系(r,θ,z)下可以写成∂2u1∂u1∂2u∂2u∆u=+++.∂r2r∂rr2∂θ2∂z2证.柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,或者为221y

5、r=(x+y)2,θ=arctan,z=z.x完全同上题的计算,得证.4.证明三维拉普拉斯算子在球坐标系(r,θ,ϕ)下可以写成()∂2u2∂u1∂2u∂u1∂2u∆u=+++cotθ+.∂r2r∂rr2∂θ2∂θsin2θ∂ϕ23证.柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为x=rsinθcosϕ,y=rsinθsinϕ,z=rcosθ.直接计算,得ur=uxxr+uyyr+uzzr=uxrcosθcosϕ+uyrcosθsinϕ−uzrsinθ,uϕ=uxxϕ+uyyϕ+uzzϕ=ux(−rsinθsinϕ)+uyrsinθcosϕ,urr=+,uθ

6、θ=+,uϕϕ=+.因此()∂2u2∂u1∂2u∂u1∂2u∂r2+r∂r+r2∂θ2+cotθ∂θ+sin2θ∂ϕ2=uxx+uyy+uzz.5.求下列线性偏微分方程的通解(其中u=u(x,y)):(1)uxx+cu=0(提示:分c>0,=0,<0);(2)uyy+uy=0.解.(1)对固定的y,方程关于u看作x的一元函数时,是二阶常系数常微分方程.√√当c>0时,对每个固定的y,解具有形式u(x)=C1cos(cx)+C2sin(cx)(可先写出特征方程,再给出解).然而,当y变化时,C1和C2的选择也会变√化(即,它们可能是y的函数).因此,

7、c>0时的通解为u(x,y)=f(y)cos(cx)+√g(y)sin(cx),其中f,g是任意二阶可微函数.当c=0和c<0时,可类似地得到通解分别为u(x,y)=f(y)x+g(y)pp和u(x,y)=f(y)ecx+g(y)ecx.46.验证:(1)u(x,t)=cosxcost是方程utt−uxx=0的解;(2)u(x,t)=f(x−at)+g(x+at)是方程utt−a2uxx=0的通解,其中f,g是任意两个二次可微函数.7.验证√u(x,y,t)=Acos(m2+n2ct)cos(mx)cos(ny)√+Bsin(m2+n2ct)

8、sin(mx)sin(ny)是方程utt−c2(uxx+uyy)=0的解.8.验证:(1)u(x,t)=sinxe9t是