数理方程习题答案

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1、习题2.12.解:振动方程:边界条件:初始条件:习题2.23.解:根据牛顿冷却定律有:∴初始条件为:习题2.33.解:习题2.42.(4)解:该方程为一般二阶线性偏微分方程,首先对其进行化简:特征方程:解得:作代换:所以:于是有:是原方程的解。习题2.52.证明:显然由含参变量的求导法则,有(此处f(x,t?))另外有:证毕。习题2.62.证明:由δ函数的定义可得:(1)其中,,并且均为内点。在可逆变换下有:(2)由(1)式和(2)式得:。在极坐标下有:证毕。习题3.13.(4)解:①β=0:即X无非零解;②β≠0:综上所述,固有值是:(β满足)固

2、有函数为:习题3.24.解:分离变量:带入原方程得:令得由边界条件得:令得固有值问题:①,无非零解;②,③,综合时的情况得特征值为特征函数为对应于每一个,的解为:于是,满足原方程和边界条件的级数解为:代入初始条件:∴当n=0时:当n≠0时:∴定解问题的解为:习题3.33.解:定解问题:令,代入方程分离变量得:由周期性条件有,由有。固有值问题:①时,无非零解;②时,;③,由周期性条件得的解为:由得:∴∴于是有:∴因此,定解问题的解为:习题3.42.解:⑴时空变量分离令,代入原方程并整理得:进一步得到:⑵空间变量分离再令并分离变量得:⑶求解固有值问题相

3、加得到关于V的固有值问题的固有值为:(什么是固有频率)相应于,有:固固有振动频率为:习题3.52.解:令,将定解问题进行初始扰动和强迫振动分离:III由分离变量法得I的解为:对于II,先考虑相应齐次方程的定解问题:用分离变量法解得:于是由齐次化原理得:固原定解问题的解为:3.解:考虑相应齐次方程的定解问题:由分离变量得该定解问题的解为:由齐次化原理1有:习题3.61.解:⑴边界条件齐次化令。则:∴将代入原方程得:再将上述定解问题分解为只含初始扰动和只含强迫振动定解问题III①通过分离变量法解得I的解为:(系数未求)4.解:定解问题:边界条件齐次化,

4、设:要使方程和边界条件同时齐次化,则:∴,并且:设,代入并整理得:∴于是得到固有值问题:解得对应于每个固有值,∴(系数怎么求)习题4.11.(2)解:根据一维波动方程的达朗贝尔公式有6.(1)解:根据一维波动方程一般强迫振动的解公式有习题4.21.解:根据端点固定的半无界弦的自由振动的解公式有2.解:齐次波动方程的通解为由初始条件有习题4.31.解:由无界三维空间自由振动的泊松公式有3.解:由无界三维空间自由振动的泊松公式有习题4.41.解:令,可将定解问题分解为由泊松公式得(2)对应的齐次化定解问题为令,得由泊松公式∴(2)的解为∴原定解问题的解

5、为习题5.11.证明:由题意有∴令,则2.(2)证明:5.解:习题5.21.解:⑴对定解问题作对应于空间变量傅里叶变换得⑵求像函数于是∴⑶求原像函数4.解:⑴对定解问题作关于空间变量x的傅里叶变换⑵求像函数当时:A=0当时:B=0⑶求原像函数由卷积定理这里∴习题5.33.解:由于,,都是一级极点,所以由展开定理有所以,最后结果为5.解:令:f(t)=tn,则f(n)(t)=n!,且:由微分定理∴7.(1)解:对原式进行分解得∴习题5.4

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