数理方程习题答案

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1、习题2.12.解：振动方程：边界条件：初始条件：习题2.23.解：根据牛顿冷却定律有：∴初始条件为：习题2.33.解：习题2.42.（4）解：该方程为一般二阶线性偏微分方程，首先对其进行化简：特征方程：解得：作代换：所以：于是有:是原方程的解。习题2.52.证明：显然由含参变量的求导法则，有（此处f(x,t?)）另外有：证毕。习题2.62.证明：由δ函数的定义可得：（1）其中,，并且均为内点。在可逆变换下有：（2）由（1）式和（2）式得：。在极坐标下有：证毕。习题3.13.（4）解：①β=0：即X无非零解；②β≠0：综上所述，固有值是:(β满足)固

2、有函数为：习题3.24.解：分离变量：带入原方程得：令得由边界条件得：令得固有值问题：①，无非零解；②，③，综合时的情况得特征值为特征函数为对应于每一个，的解为：于是，满足原方程和边界条件的级数解为：代入初始条件：∴当n=0时：当n≠0时：∴定解问题的解为：习题3.33.解：定解问题：令，代入方程分离变量得：由周期性条件有，由有。固有值问题：①时，无非零解；②时，；③，由周期性条件得的解为：由得：∴∴于是有：∴因此，定解问题的解为：习题3.42.解：⑴时空变量分离令，代入原方程并整理得：进一步得到：⑵空间变量分离再令并分离变量得：⑶求解固有值问题相

3、加得到关于V的固有值问题的固有值为：（什么是固有频率）相应于，有：固固有振动频率为：习题3.52.解：令，将定解问题进行初始扰动和强迫振动分离：III由分离变量法得I的解为：对于II，先考虑相应齐次方程的定解问题：用分离变量法解得：于是由齐次化原理得：固原定解问题的解为：3.解：考虑相应齐次方程的定解问题：由分离变量得该定解问题的解为：由齐次化原理1有：习题3.61.解：⑴边界条件齐次化令。则：∴将代入原方程得：再将上述定解问题分解为只含初始扰动和只含强迫振动定解问题III①通过分离变量法解得I的解为：（系数未求）4.解：定解问题：边界条件齐次化，

4、设：要使方程和边界条件同时齐次化，则：∴，并且：设，代入并整理得：∴于是得到固有值问题：解得对应于每个固有值，∴（系数怎么求）习题4.11．（2）解：根据一维波动方程的达朗贝尔公式有6.（1）解：根据一维波动方程一般强迫振动的解公式有习题4.21.解:根据端点固定的半无界弦的自由振动的解公式有2．解：齐次波动方程的通解为由初始条件有习题4.31.解：由无界三维空间自由振动的泊松公式有3.解：由无界三维空间自由振动的泊松公式有习题4.41.解：令，可将定解问题分解为由泊松公式得（2）对应的齐次化定解问题为令，得由泊松公式∴（2）的解为∴原定解问题的解

5、为习题5.11.证明：由题意有∴令，则2.（2）证明：5.解：习题5.21.解：⑴对定解问题作对应于空间变量傅里叶变换得⑵求像函数于是∴⑶求原像函数4.解：⑴对定解问题作关于空间变量x的傅里叶变换⑵求像函数当时：A=0当时：B=0⑶求原像函数由卷积定理这里∴习题5.33.解：由于，，都是一级极点，所以由展开定理有所以，最后结果为5.解：令：f(t)=tn，则f(n)(t)=n!，且：由微分定理∴7.（1）解：对原式进行分解得∴习题5.4