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时间:2019-03-08
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1、⎧sinmmϕ⎫⎛=0,1,2,?l⎞mm1.将下列函数展开为球函数YP()()θϕ,c=osθ⎨⎬⎜⎟的ll⎩⎭cosmlϕ⎝=0,1,2,3,?⎠形式。(1)sinθ()sinθθϕ+cossin(2)sinsinθϕ(3)()6cosθ+1sincosθϕ⎧sinmmϕ⎫⎛=0,1,2,?l⎞mm2.将下列函数展开为球函数YP()()θϕ,c=osθ⎨⎬⎜⎟的ll⎩⎭cosmlϕ⎝=0,1,2,3,?⎠形式。(1)3sin2sin()θϕ−cos2sin2θϕ−+cos2cos2θϕsin2ϕ+cos2ϕ−1(2)s
2、incosθϕ(3)()13cos+θsincosθϕ3.如图所示,长为l的弦,两端固定,弦中张力为T,在弦的中间点以横向力F0把弦拉开,然后突然撤除这力,求解弦的振动。4.求解细杆导热问题,杆长l,两端保持为零度,初始温度分布2ub=−x(lx)lt=0225.在球坐标系下将三维波动方程uau−∇=0分离变量。其中,拉普拉斯算符tt在球坐标系下的形式为22211∂∂⎛⎞uu∂⎛∂⎞1∂u∇=ur⎜⎟+⎜sinθ⎟+22222rr∂∂⎝⎠rrsinθ∂θθθ⎝∂⎠rsin∂φur()(,,θφ=Ttv)(r),vR()r=
3、()(rYθφ,;)Y()()()θ,.φθφ=ΘΦ求出Tt(),R()r,Y()θφ,,Θ(θ),Φ(φ)分别满足的本征方程以及通解的形式。226.在柱坐标系下将三维输运方程uau−∇=0分离变量。其中,拉普拉斯算符t在柱坐标系下的形式为22211∂∂⎛⎞uu∂∂u∇=ur⎜⎟++222rr∂∂⎝⎠rr∂∂φzur()(,,θφ=Ttv)(r),vR()r=Φ()()()rZφz.求出Tt(),R()r,Φ()φ,Z()z分别满足的本征方程以及通解的形式。7.在半径为r的球的(1)内部,(2)外部求解定解问题02⎧∇=u
4、0,⎪⎨∂u2221=cosθϕϕcos−+cos.⎪∂r3⎩rr=08.均匀中空介质球壳,内半径为r,外半径为rr(>),壳层内介电常数为ε,121壳层外和中间空心部分为真空。把介质球壳放在点电荷4πεq的电场中,球心跟0点电荷相距dr()>,求解介质球壳外、介质球壳区域、和中间空心区域内的静2电场中的电势。∞1l勒让德多项式的母函数为=∑hPl()cosθ,h<1212cos−+hhθl=029.半径为ρ而高为L的圆柱,下底保持温度u,上底温度分布为uρ,侧面温012度分布为uz,求解柱体内各点的稳恒温度。0210.圆
5、柱体半径为ρ而高为L,下底温度分布为uρ,上底温度保持为u,侧001面绝热,求柱体内的稳恒温度分布。
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