数理方程复习题型

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1、数理方程复习题型题型一：根据物理过程写出相应的定解问题习题一：1,2例、长为l的均匀杆，侧面绝缘，杆的初始温度分布为φ(x)，一dQ端有恒定热流q进入q=,另一端绝热。写出相应的定解问题。dtds解：根据题意，可知为热传导问题，方程为u=a2utxx①初始条件：u

2、t=0=φ(x)②边界条件：端有恒定热流q进入，则：dQ∂u因为q=dQ=−kdtdsdtds∂n∂uq所以

3、x=0=−∂xk另一端绝热，则u

4、x=l=0综上，要求的定解问题为：∂u2∂2u⎧=a2,00∂t∂x∂u

5、=−q,u

6、=0,t>0⎨∂xx=0kx=l⎩u

7、t=0=φ(x),0

8、≤x≤l题型二：求特征值问题X"(x)+λX(x)=0X"(x)+λX(x)=01)�2)�X(0)=X(l)=0X’(0)=X(l)=0X"(x)+λX(x)=0X"(x)+λX(x)=03)�4)�X(0)=X’(l)=0X’(0)=X’(l)=0Φ"(θ)+λΦ(θ)=05)�Φ(0)=Φ(θ+2π)以求解4）、5）两题为例：X"(x)+λX(x)=04)�X’(0)=X’(l)=0解：i、当λ<0时，X(x)=Ae−√−λx+Be√−λxX’(x)=−√−λAe−√−λx+√−λBe√−λx，带入条件得：A=0，B=0，没有非零解；ii、当λ=0时，X(

9、x)=A+BxX’(x)=B，带入条件得：A为不为零常数，B=0，X0(x)=A0；iii、当λ>0时λ=β2，X(x)=Acosβx+BsinβxX’(x)=−Aβsinβx+Bβcosβx，带入条件得：kπkπB=0，要使A≠0，则sinβl=0→β=所以X(x)=Acosx，llkπk2π2即：Xk(x)=Akcosx(k=1,2,·····),λk=2(k=1,2,·····)llkπ综上：Xk(x)=Akcosx(k=0,1,2,·····)lΦ"(θ)+λΦ(θ)=05)�Φ(0)=Φ(θ+2π)解：i、当λ<0时，Φ(θ)=Ae−√−λθ+Be√−

10、λθΦ(θ+2π)=Ae−2π√−λe−√−λθ+Be2π√−λe√−λθ，带入条件得：A=0，B=0，没有非零解；ii、当λ=0时，Φ(θ)=Aθ+BΦ(θ+2π)=Aθ+B+2Aπ，带入条件得：A=0，Φ0(θ)=B0；iii、当λ>0时λ=β2，Φ(θ)=Bcosβθ+AsinβθΦ(θ+2π)=Bcosβ(θ+2π)+Asinβ(θ+2π)，带入条件得β必须取整数(n=1,2,·····)所以Φn(θ)=Bncosnθ+Ansinnθ(n=1,2,·····).综上：Φn(θ)=Bncosnθ+Ansinnθ(n=0,1,2,·····).题型三、用分离

11、变量法求齐次边界条件下的定解问题第二章第一节第二节第三节习题二1,2,3,4，5,6,7,13,17,18以第3题为例：3、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程1x,0≤x≤2u

12、t=0=�11−x,

13、t=0=x(x−1),0≤x≤1∂tu

14、x=0=u

15、x=1=0,t>0解：该定解问题为∂2u2∂2u=a，00⎧∂t2∂x21⎪x,0≤x≤2u

16、t=0=φ(x)=�11−x,

17、t=0=Ψ(x)=x(x−1),0≤x≤1⎩u

18、x=0=u

19、x=1=0,t>0令u(?,t)=X(?)T(t)代入方程得：”2"X(?)"

20、T(t)“?(?)?(?)=??(?)?(?)==−λX(?)?2?(?)X(?)"+λX(?)=0�?(?)”+λ?2?(?)=0①求?(?)由题意可得X(0)=X(1)=0X(?)"+λX(?)=0所以�X(0)=X(1)=0i、当λ<0时，无非零解；ii、当λ=0时，无非零解；iii、当λ>0时，设λ=β2X(x)=Acosβx+Bsinβx带入条件得A=0，β=nπ,λ=n2π2所以X(x)=?sin???(?=1,2,······)λ=n2π2(?=1,2,······)??n②求?(?)?(?)”+?2n2π2?(?)=0解得?(?)=?’cosa?

21、??+?’sina??????③求un(?,t)un(?,t)=X?(x)??(?)=(??cosa???+??sina???)sin???其中?=?’?，?=?’???????u(?,t)=∑+∞u(?,t)=∑+∞(?cosa???+?sina???)sin???n=1nn=1??④求系数??,??根据初始条件得：u(?,0)=∑+∞?sin???=φ(x)n=1?�u’(?,0)=∑+∞????sin???=Ψ(x)n=1?利用傅立叶系数公式111??=2∫φ(x)sin???dx=2�∫2?sin?????+∫1(1−?)sin?????�0022121

22、??=∫Ψ(x)sin?