《数理方程》复习汇总new

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1、《数理方程》复习汇总一、分离变量法1.波动方程以下分别对波动方程的四种振动方式进行概述，其中对形式I进行详述，其他形式类推。形式Iutt=a2uxx00u0,t=0,ul,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.将u(x,t)中的x,t分离出来，其形式为：ux,t=XxT(t)式中X(x),T(t)分别表示仅与x,t有关的待定函数。由ux,t=XxT(t)得XxTt=a2X(x)T(t)X''(x)X(x)=T''(t)a2T(t)=-λX''x+λXx=0T''t+λa2Tt=0由边界条件知X(0)=

2、X(l)=0已知λ≤0时没有非零解当λ>0时Xx=Acosλx+Bsinλx由初值可知λ=nπl(n=1,2,3…)Xnx,t=Bnsinnπlx(n=1,2,3…)再将λ代入T(t)中得Tnt=C'ncosnπalt+D'nsinnπaltunx,t=Ancosnπalt+Bnsinnπaltsinnπlxux,t=n=1∞un=n=1∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltsinnπlx代入初值得An=2lolφxsinnπlxdxnπalBn=2lolψxsinnπlxdx解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解

3、问题。形式IIutt=a2uxx00ux0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由边界条件（红色标出字体）可确定其特征函数系为cosnπlx,故可设ux,t=n=0∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltcosnπlx或直接设为ux,t=a02+n=1∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltcosnπlx其中An=2lolφxcosnπlxdxnπalBn=2lolψxcosnπlxdx解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IIIutt=a2uxx

4、00u0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由边界条件可确定其特征函数系为sin(2n+1)2lx,故可设ux,t=n=0∞Ancos(2n+1)πa2lt+Bnsin(2n+1)πa2ltsinnπl(2n+1)π2lx其中An=2lolφxsin(2n+1)π2lxdx(2n+1)π2lBn=2lolψxsin(2n+1)π2lxdx解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IVutt=a2uxx00ux0,t=0,ul,t=0t>0u(x

5、,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由边界条件（红色字体标出）可确定其特征函数系为cos(2n+1)2lx,故可设ux,t=n=0∞Ancos(2n+1)πa2lt+Bnsin(2n+1)πa2ltcosnπl(2n+1)π2lx其中An=2lolφxcos(2n+1)π2lxdx(2n+1)π2lBn=2lolψxcos(2n+1)π2lxdx解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。1.热传导方程同波动方程的分析相似，我们也分四种形式进行讨论。形式Iut=a2uxx00u0,t=0,ul,t=

6、0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由边界条件（红色字体标出）可确定其特征函数系为sinnπlx,故可设ux,t=n=1∞Cne-(nπal)2tsinnπlx其中Cn=2lolφxsinnπlxdx解得Cn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IIut=a2uxx00ux0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由边界条件可确定其特征函数系为cosnπlx,故可设ux,t=n=0∞Cne-(nπal)2tcosnπlx或直接写成ux,t=a02+n=1∞Cne-(nπal)2tcos

7、nπlx其中Cn=2lolφxcosnπlxdx解得Cn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IIIut=a2uxx00u0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由边界条件可确定其特征函数系为sin(2n+1)π2lx,故可设ux,t=n=0∞Cne-((2n+1)πa2l)2tsin(2n+1)π2lx其中Cn=2lolφxsin(2n+1)π2lxdx解得Cn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IVut=a2uxx00ux0,t=0,ul,t=0t>0u

8、(x,0)=φx,0≤x≤l.由边界条件可确定其特征函数系为cos(2n+1)π2lx,故可设ux,t=n=0∞Cne-((2n+1)πa2l)2tcos(2n+1)π2lx其中Cn=2lol