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《一院一专业《数理方程》复习汇总》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2012年3月一院一专业《数理方程》复习汇总及考点分析根据王泽军老师授课中提到的要点及此次考试中的重点进行分析。考点分析主要以第二章（分离变量法）和第三章（行波法与积分变换法）为准，其余章节望后来者添加补充。一、分离变量法1.波动方程以下分别对波动方程的四种振动方式进行概述，其中对形式I进行详述，其他形式类推。形式Iutt=a2uxx00u0,t=0,ul,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.将u(x,t)中的x,t分离出来，其形式为：ux,t=XxT(t)式中X(x),T(t)分别表示仅与x,t有关的待定函数。由ux,t=XxT(t)得XxTt=a2X
2、(x)T(t)X''(x)X(x)=T''(t)a2T(t)=-λX''x+λXx=0T''t+λa2Tt=0由边界条件知X(0)=X(l)=0已知λ≤0时没有非零解当λ>0时Xx=Acosλx+Bsinλx由初值可知λ=nπl(n=1,2,3…)Xnx,t=Bnsinnπlx(n=1,2,3…)再将λ代入T(t)中得Tnt=C'ncosnπalt+D'nsinnπaltunx,t=Ancosnπalt+Bnsinnπaltsinnπlxux,t=n=1∞un=n=1∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltsinnπlx代入初值得An=2lolφxsinnπlxdxnπalBn=2lolψ
3、xsinnπlxdx解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IIutt=a2uxx00ux0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由边界条件（红色标出字体）可确定其特征函数系为cosnπlx,故可设ux,t=n=0注意n=0的取值∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltcosnπlx或直接设为ux,t=a02将n=0的情况单独提出进行计算，a0=2l0lφxdx+n=1∞Ancosnπalt+Bnsinnπaltcosnπlx其中An=2lolφxcosnπlxdxnπalBn=2lolψxcosnπlxdx
4、解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IIIutt=a2uxx00u0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由边界条件可确定其特征函数系为sin(2n+1)2l注意函数系取(2n+1)π2lx,故可设ux,t=n=0∞Ancos(2n+1)πa2lt+Bnsin(2n+1)πa2ltsinnπl(2n+1)π2lx其中An=2lolφxsin(2n+1)π2lxdx(2n+1)π2lBn=2lolψxsin(2n+1)π2lxdx解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IVutt=a2
5、uxx00ux0,t=0,ul,t=0t>0u(x,0)=φx,utx,0=ψx,0≤x≤l.由边界条件（红色字体标出）可确定其特征函数系为cos(2n+1)2lx,故可设ux,t=n=0∞Ancos(2n+1)πa2lt+Bnsin(2n+1)πa2ltcosnπl(2n+1)π2lx其中An=2lolφxcos(2n+1)π2lxdx(2n+1)π2lBn=2lolψxcos(2n+1)π2lxdx解得An，Bn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。1.热传导方程同波动方程的分析相似，我们也分四种形式进行讨论。形式Iut=a2uxx00u0,t=0,u
6、l,t=0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由边界条件（红色字体标出）可确定其特征函数系为sinnπlx,故可设ux,t=n=1∞Cne-(nπal)2tsinnπlx其中Cn=2lolφxsinnπlxdx解得Cn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IIut=a2uxx00ux0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由边界条件可确定其特征函数系为cosnπlx,故可设ux,t=n=0∞Cne-(nπal)2tcosnπlx或直接写成ux,t=a02+n=1∞Cne-(nπal)2tcosnπlx其中Cn=2lolφxcosnπlxdx
7、解得Cn后代入所设函数中即可求得关于ux,t的定解问题。形式IIIut=a2uxx00u0,t=0,uxl,t=0t>0u(x,0)=φx,0≤x≤l.由边界条件可确定其特征函数系为sin(2n+1)π2lx,故可设ux,t=n=0∞Cne-((2n+1)πa2l)2tsin(2n+1)π2lx其中Cn=2lolφxsin(2n+1)π2lxdx解得Cn后代入所设函数中即可求得关于u
