资源描述：
《数理方程30题new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学物理方程常规例题(1-30题)一、数学模型例题例1．密度为ρ均匀柔软的细弦线x=0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。解：考虑垂直悬挂的细弦线上一段微元ds，该微元在坐标轴上投影为区间[x，x+dx]，在微元的上端点处有张力：T=ρg(L−x)，T11O在下端点处有张力：uxT=ρg(L−x−dx)2x+dx考虑张力在位移方向的分解，应用牛顿第三定律，有Tsinα−Tsinα=mu2211ttLT2由于细弦作微小振动，所以有近似sinα≈tanα=u(x+dx)22xxsinα≈tanα=u(x)11x代
2、入牛顿第三定律的表达式，有ρg(L−x−dx)u(x+dx,t)−ρg(L−x)u(x,t)≈ρdsuxxtt上式两端同除以ρds，得(L−(x+dx))u(x+dx)−(L−x)u(x)xxg≈uttds由于ds≈dx，而(L−(x+dx))u(x+dx)−(L−x)u(x)xx≈[(L−x)u(x)]xxdx所以，细弦振动的方程为g[(L−x)u]=uxxtt例2．长为L密度为ρ底半径为R的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥顶点固定在x=0处。导出此杆的振动方程。（需要包括假设在内的具体推导）解：设均匀圆锥杆作纵振动时位移函数为uu(x，t)xR则在
3、点x处，弹力与相对伸长量成正比，即xP(x,t)=Yux(x,t)OLx+dx其中，Y为杨氏模量。在截面上张力为T(x,t)=S(x)P(x,t)这里，S(x)为x处圆锥截面积。考虑圆锥杆上对应于区间[x，x+dx]处的微元（如右图所示）。应用牛顿第二定律，得1T(x+dx,t)−T(x,t)=ρ[(x+dx)S(x+dx)−xS(x)]u(x,t)tt3由于圆锥截面积R2S(x)=π(x)L微元（圆台）体积11R2223ρ[(x+dx)S(x+dx)−xS(x)]=ρπ()(3xdx+3xdx+dx)33L所以R2221R2223Yπ()[(x+dx)
4、u(x+dx,t)−xu(x,t)]=ρπ()(3xdx+3xdx+dx)u(x,t)xxttL3L两端除dx，并取极限，得22Y[xu(x,t)]=ρxu(x,t)xxtt2记a=Y/ρ，则有方程22u=a(u+u)ttxxxx二、二阶偏微分方程化简与求通解只考虑未知函数是两个自变量情形，即u(x,y)。考虑二阶偏微分方程只有二阶导数部分au+2au+au=011xx12xy22yy题目分常系数和变系数两类，前者简单。利用系数构造一元二次方程2aλ−2aλ+a=0111222待解出根λ和λ后，再求出两个一阶常微分方程y′=λ和y′=λ的通解。如果是方程
5、中1212系数为常系数，则两个根也为常数，只需积分一次即可得通解。如果方程中系数为变系数，则两个根不再是常数，需要用解一阶常微分方程的手段来求通解。例3．判别二阶微分方程u+10u+9u=0的类型并求通解。xxxyyy解：利用判别式2∆=a−aa=25−9>0121122所以方程是双曲型方程。构造辅助方程2λ−10λ+9=0解得：λ=9，λ=1，由12dydy=9，=1dxdx积分，得y=9x+C，y=x+C12由此构造变换ξ=9x−y，η=x−y显然，变换矩阵为⎡ξxξy⎤⎡9−1⎤Q=⎢⎥=⎢⎥⎣ηxηy⎦⎣1−1⎦且⎡15⎤⎡1⎤⎡−4⎤[9−1]
6、⎢⎥⎢⎥=[9−1]⎢⎥=−32≠0⎣59⎦⎣−1⎦⎣−4⎦将变换表达式代入方程，化简得u=0，对其积分，得ξηu=f(ξ)+g(η)其中，f,g是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解u=f(9x−y)+g(x−y)22例4．判别二阶微分方程yu+6xyu+8xu=0的类型并求通解。xxxyyy解：利用判别式22222∆=a−aa=36xy−8xy>0121122所以方程是双曲型方程。构造辅助方程222yλ−6xyλ+8x=0分解因式，得(yλ−2x)(yλ−4x)=0所以dydy=2x/y，=4x/ydxdx解常微分方程得22
7、⎧⎪y=2x+C1⎨22⎪⎩y=4x+C2得变换22⎧⎪ξ=2x−y⎡ξxηx⎤⎡4x8x⎤⎨22，⎢ξη⎥=⎢⎥⎪⎩η=4x−y⎣yy⎦⎣−2y−2y⎦所以2⎡2⎤⎡y3xy⎤⎡8x⎤2xy[]22a12=4x−2y⎢2⎥⎢⎥=[4x−2y]⎢2⎥=−8xy⎣3xy8x⎦⎣−2y⎦⎢⎣8xy⎥⎦22得标准方程，−8xyu=0，即u=0ξξξξ方程的通解为：u=f(ξ)+g(η)f,g是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得通解2222u(x,y)=f(2x−y)+g(4x−y)例5．化简微方程并求方程通解。22sinyu+6cosxsiny
8、u+8cosxu=0xxxyyy222解：一元二次方程为，(siny)λ−6(c
