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1、§1.8函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量设函数y=f(x)在U(x0，)内有定义,当自变量x从x0变到x0+x时，y相应地从f(x0)变到f(x0+x)，则称y=f(x0+x)–f(x0)为函数f(x)相应于x的增量.定义1:设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义,如果或那么,就称函数f(x)在点x0连续,x0称为f(x)的连续点.2.连续的定义定义2:设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义,如果那么就称函数f(x)在点x0连续.定义2:设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果那么就称函数f
2、(x)在点x0连续.可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;例1:试证明在x=0处连续.3.单侧连续若函数f(x)在(a,x0]内有定义,且f(x0–0)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处左连续.若函数f(x)在[x0,b)内有定义,且f(x0+0)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处右连续.定理:函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0处既右连续又左连续.例2:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.4.连续函数与连续区间在开区间上每一点都连续的
3、函数,叫做在开区间上的连续函数,或者说函数在开区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,并且在左端点x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.例3:证明函数y=sinx在区间(-∞,+∞)内连续.解:右连续但不左连续,函数f(x)在x=0处不连续.二、函数的间断点函数f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件:(1)f(x)在点x0处有定义;则称函数f(x)在点x0处不连续(或间断),并称点x0为f(x)的不连续点(或间断点).
4、设在点的某去心邻域内有定义,无在(2)函数不存在;虽有定义,但在(3)函数存在,但虽有定义,且则有下列情形之一：间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.=A≠f(x0),或f(x)在点x0处无定义为其无穷间断点.为可去间断点.例如:注意:对于可去间断点,只要改变或者补充间断点处函数的定义,则可使其变为连续点.例4:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.例5:讨论函数f(x)在x=1处的连续性
5、.注意:对于可去间断点,只要改变或者补充间断点处函数的定义,则可使其变为连续点.例6:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.无穷间断点.例7:讨论函数在x=0处的连续性.x=0为函数f(x)的第二类间断点.振荡间断点.例8:当a取何值时,函数在x=0处连续.解:因为f(0)=a,且要使函数f(x)在x=0处连续,当且仅当f(0–0)=f(0+0)=f(0)从而,当且仅当a=1时,函数f(x)在x=0处连续.例9:讨论函数的连续性.若有间断点判别其类型,并作出图形.解:故:当
6、x
7、<1时,当
8、x
9、>1时,当
10、x
11、=1时,1
12、-1Ox除x=±1外函数f(x)连续.当x=±1时,f(1–0)=1,f(1+0)=-1;f(-1–0)=1,f(-1+0)=-1.所以x=±1都是函数f(x)的跳跃间断点.★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都是第二类间断点.★仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值函数连续.注意:不要以为函数的间断点只是个别的几个点.内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式其他思考与练
13、习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:3.P64题2,P65题5为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,P65题5提示:备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.判断下列间断点类型:备用题若函数f(x)在点x0处连续,则
14、f(x)
15、,f2(x)在点x0处是否连续?又若
16、f(x)
17、,f2(x)在点x0处连续,则f(x)在点x0处是否连续?因函数f(x)在点x0处连续,解答且故
18、f(x)
19、和f2(x)在点x0处都连续.反之不成立.例如:在x0=0处不连续.但
20、f(
21、x)
22、,f2(x)在点x0=0处都连续.
