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《§1.8 函数的连续性与间断点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1.10函数的连续性 与间断点函数的连续(continuity)函数的间断点小结思考题作业(discontinuouspoint)第一章函数与极限11.函数的增量自变量称差为自变量在的增量;函数随着从称差为函数的增量.如图:一、函数的连续性函数的连续性与间断点2连续,2.连续的定义定义1设函数f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法函数的连续性与间断点3例证都是连续的.类似可证,是连续的.即函数的连续性与间断点
2、4定义2若则称函数f(x)在x0处连续.把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值.5例证定义2试证函数处连续.函数的连续性与间断点6连续性f(x)在处有定义;(1)(2)(3)三个要素:存在;函数的连续性与间断点73.左、右连续左连续(continuityfromthe右连续(continuityfromtheleft);right).左连续右连续8定理1此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.函数的连续性与间断点9例解右不连续.所以左连续,函数的连续性与间断点10例解函数的连续性与间断点114.连
3、续函数(continousfunction)与连续区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为左连续连续函数,连续区间.内连续函数的连续性与间断点12例如,有理整函数(多项式)内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数只要都有因此有理整函数在都是连续的.函数的连续性与间断点13定义4出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;间断点.函数的连续性与间断点14间断点分为两类:第二类间断点(discontinuitypointofthesecondk
4、ind):第一类间断点(discontinuitypointofthefirstkind):及均存在,及中至少一个不存在.若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称为无穷间断点.称为振荡间断点.函数的连续性与间断点15例由于函数无定义,故为f(x)的间断点.且皆不存在.第二类第二类间断点:至少有且是无穷型间断点.一个不存在.函数的连续性与间断点16例有定义,不存在,故为f(x)的间断点.第二类且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡,函数的连续性与间断点17例有定义,故为f(x)的间断点.第一类的第一类间断点.则点
5、x0为函数f(x)的且是跳跃间断点.跳跃型间断点(Jumpdiscontinuity).及均存在,则点x0为函数的连续性与间断点18函数的连续性与间断点例讨论函数解为函数的间断点.第一类且是可去间断点(removablediscontinuity).连续.处无定义,可去间断点.处在1=x19则可使x0变为连续点.注对可去间断点x0,如果于A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充x0的函数值,或改变函数的连续性与间断点20如补充定义:如但函数的连续性与间断点21可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点函数的连续
6、性与间断点22总结两类间断点:第一类间断点:跳跃型,第二类间断点:无穷型,可去型无穷次振荡型极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续f(x)在x0点存在极限函数的连续性与间断点23练习设解因为所以必需且只需即必需且只需即函数的连续性与间断点24备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.函数的连续性与间断点25(见下图)无穷型,无穷次振荡型三、小结1.函数在一点连续的三个定义、必须满足的2.区间上的连续函数;3.函数间断点的分类:间断点第一类间断点:跳跃型,可去型第二类间断点:函数的连续性与间断点三个条件;26思考题(是
7、非题)非如处处连续.但不连续.是函数的连续性与间断点27P65题5提示:函数的连续性与间断点28作业习题1-8(64页)1(2)2.(2)(4)3.函数的连续性与间断点29备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.函数的连续性与间断点30
