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时间:2019-07-13
《高数同济§1.8函数的连续性与间断点》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、函数的连续性增量函数连续二、函数的间断点第一类间断点第二类间断点§1.8函数的连续性与间断点上页下页结束返回首页1思考:如何描述这种现象?一、函数的连续性曲线不断曲线断开函数f(x)随x的改变而逐渐改变;突变现象下页数学语言:增量21.增量的概念:一、函数的连续性曲线不断曲线断开注:①也记Δx=x1-x0,即自变量x从初值x0变到终值x1;②增量Δx和Δy可正可负;③在第2章的导数部分将再次研究增量.下页32函数的连续性定义提示:下页设x=x0+Dx则当Dx0时xx0因此设函数y=f(x)在点x
2、0的某一个邻域内有定义那么就称函数y=f(x)在点x0处连续Dy=f(x0+Dx)-f(x0)如果4思考:如何用e-d语言叙述函数的连续性定义?e>0d>0当
3、x-x0
4、5、f(x)-f(x0)6、7、函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续8注:3连续函数在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例(1)多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的这是因为函数P(x)在(-+)内任意一点x0处有定义并且下页如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续9(2)正弦函数y=sinx在区间(-+)内是连续的这是因为函数y=sinx在(-+)内任意一点x处有定义并且首页在区间上每一点都连续的函数叫8、做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例3连续函数实际上,初等函数在定义区间上都是连续的,(见下节).10二、函数的间断点设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义则函数f(x)在点x0不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)下页1间断点(不连续点)的定义112间断点举例例1下页12例2当x0时函数9、值在-1与+1之间变动无限多次所以点x=0是函数的间断点所以点x=0称为函数的振荡间断点下页2间断点举例13所以点x=1是函数的间断点如果补充定义令x=1时y=2则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例3下页2间断点举例14因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点例4下页2间断点举例15通常把间断点分成两类设x0是函数f(x)的间断点如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不属10、于第一类间断点的间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点3间断点的类型下页16可去型第一类间断点跳跃型无穷型第二类间断点oyxoyxoyx下页oyx振荡型17狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★★仅在x=0处连续,在定义域R内其余各点处处间断.但其绝对值处处连续.下页18小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃11、型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点下页19练习:研究下列函数在x=0的连续性,若是间断的,指出间断点类型。解:1)2)∴x=0为第一类间断点。下页20不存在,∴x=0为第二类间断点。4)∴当a=0时f(x)在x=0处连续。a≠0时x=0为f(x)的可去间断点。3)(a为任意实数)下页21P59:2、4-(2)(4)64:2-(1)、(3)、322
5、f(x)-f(x0)
6、7、函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续8注:3连续函数在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例(1)多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的这是因为函数P(x)在(-+)内任意一点x0处有定义并且下页如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续9(2)正弦函数y=sinx在区间(-+)内是连续的这是因为函数y=sinx在(-+)内任意一点x处有定义并且首页在区间上每一点都连续的函数叫8、做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例3连续函数实际上,初等函数在定义区间上都是连续的,(见下节).10二、函数的间断点设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义则函数f(x)在点x0不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)下页1间断点(不连续点)的定义112间断点举例例1下页12例2当x0时函数9、值在-1与+1之间变动无限多次所以点x=0是函数的间断点所以点x=0称为函数的振荡间断点下页2间断点举例13所以点x=1是函数的间断点如果补充定义令x=1时y=2则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例3下页2间断点举例14因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点例4下页2间断点举例15通常把间断点分成两类设x0是函数f(x)的间断点如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不属10、于第一类间断点的间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点3间断点的类型下页16可去型第一类间断点跳跃型无穷型第二类间断点oyxoyxoyx下页oyx振荡型17狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★★仅在x=0处连续,在定义域R内其余各点处处间断.但其绝对值处处连续.下页18小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃11、型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点下页19练习:研究下列函数在x=0的连续性,若是间断的,指出间断点类型。解:1)2)∴x=0为第一类间断点。下页20不存在,∴x=0为第二类间断点。4)∴当a=0时f(x)在x=0处连续。a≠0时x=0为f(x)的可去间断点。3)(a为任意实数)下页21P59:2、4-(2)(4)64:2-(1)、(3)、322
7、函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续8注:3连续函数在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例(1)多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的这是因为函数P(x)在(-+)内任意一点x0处有定义并且下页如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续9(2)正弦函数y=sinx在区间(-+)内是连续的这是因为函数y=sinx在(-+)内任意一点x处有定义并且首页在区间上每一点都连续的函数叫
8、做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数举例3连续函数实际上,初等函数在定义区间上都是连续的,(见下节).10二、函数的间断点设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义则函数f(x)在点x0不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)下页1间断点(不连续点)的定义112间断点举例例1下页12例2当x0时函数
9、值在-1与+1之间变动无限多次所以点x=0是函数的间断点所以点x=0称为函数的振荡间断点下页2间断点举例13所以点x=1是函数的间断点如果补充定义令x=1时y=2则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例3下页2间断点举例14因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点例4下页2间断点举例15通常把间断点分成两类设x0是函数f(x)的间断点如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不属
10、于第一类间断点的间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点3间断点的类型下页16可去型第一类间断点跳跃型无穷型第二类间断点oyxoyxoyx下页oyx振荡型17狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★★仅在x=0处连续,在定义域R内其余各点处处间断.但其绝对值处处连续.下页18小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃
11、型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点下页19练习:研究下列函数在x=0的连续性,若是间断的,指出间断点类型。解:1)2)∴x=0为第一类间断点。下页20不存在,∴x=0为第二类间断点。4)∴当a=0时f(x)在x=0处连续。a≠0时x=0为f(x)的可去间断点。3)(a为任意实数)下页21P59:2、4-(2)(4)64:2-(1)、(3)、322
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