资源描述：
《高数函数连续性1.8.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二、连续函数的运算及初等函数的连续性一、连续函数的概念第八节函数的连续性第一章三、闭区间上连续函数的性质一、连续函数的概念1.函数在一点处的连续性定义1在的某邻域内有定义,则称函数设函数且可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;函数的增量那则定义2设函数在内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,也趋向于零,对应的函数的增量即那么就称函数例1证由定义1知例2单侧连续定理定义3左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:例3解右连续但不左连续,2.函数在区间上的连续性连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,在区间内每一点都连续的函
2、数,间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.叫做在该区例4证3.函数的间断点及其分类在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则满足下列这样的点情形之一的函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为函数的间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.例5解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.例6解例7解例8解例9研究函数间断点，说明间断点的类型.的连续性，如有二、连续函数的运算及初等函数的连续性定
3、理1例如,定理2在区间上单调递增(递减)且连续的函数的反函数在相应区间上也单调递增(递减)且连续.(证明略)例如,在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,定理意义1.极限符号可以与函数符号互换;例如解证:设函数于是故复合函数且即定理3例如2.初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★定理基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而定理4一切初等函数在其定义区间
4、内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.例10解初等函数求极限的方法代入法.例11三、闭区间上连续函数的性质例如,定义:最大值，使得对于在最小值，问题1如何根据函数在区间上的图形找该函数在区间上的最大值点和最小值点？问题2是否在某区间上有定义的函数在这个区间一定有最大值和最小值？例无最大值与最小值也无最大值和最小值又如,定理5(最值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值与最小值.(证明略)推论(有界性）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.定理6(介值定理)在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.定理7(零值定理)几何意义：证：再利用介值定
5、理可证取值为0的点的存在性.例12证由零点定理,说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法则则例13证由零点定理,零值定理的推广例14作业P691.(1)—(6)（10）2.(3)（4）4.5.7.12三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx思考题思考题解答且但反之不成立.例但练习题练习题答案
