高数-函数的连续性

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1、一、函数的连续性的概念二、函数的间断点1.3函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性(continuity)1.函数的增量(increment)注意：2.连续的定义即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.例1证由定义2知例2证3.单侧连续定理例3解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.5.基本初等函数的连续性二、函数的间断点(pointsofdiscontinuity)1.可去间断点(aremovabledis

2、continuity)例4解注意可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例4中,例5解2.跳跃间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点．例5中的间断点为跳跃间断点．3.第二类间断点例6解例7解注意函数的间断点可能不只是个别的几个点.这时也称其为振荡间断点．狄利克雷函数(Dirichlet’sfunction)在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型

3、:例8解定理1例如,三、初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性定理2严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数．例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2.反函数与复合函数的连续性定理３例9定理４一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.３.初等函数的连续性1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的去心邻域内没有定义.注意例10例11解解注意2.初等函数在连续点求极限可用代入法.四、小结思考题1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的

4、连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx4.初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：代入法。思考题１思考题解答且但反之不成立.例但思考题２思考题解答是它的可去间断点练习题练习题答案