文科高数函数的连续性

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1、改变量,(可正可负)的改变量,（可正可负)当自变一、函数的连续性1.自变量的改变量和函数的改变量（1）自变量的改变量（2）函数的改变量第三节函数的连续性与间断点注:yxDD,分别为整体记号,不能理解为及曲线上相应点的纵坐标的改变量。21.0=11.122-=)1()1.1(-=ff)1()1.01(-+=ff解)()(00-D+=Dxfxxfy定义1如果0=[])()(lim000-D+®Dxfxxfxlim0=D®Dyx则称函数)(xfy=在0x点连续.在上述定义中,)()(lim00xfxfxx=®从而定义2)()(l

2、im00xfxfxx=®如果则称函数)(xfy=在0x点连续.．2.函数在点0x处的连续性指出:定义1与定义2是等价的.例2证明函数1)(3+=xxf在2=x处连续证明9=)1(lim32+=®xx)(lim2®xfx所以函数1)(3+=xxf在2=x处连续。【注】若)()(lim00xfxfxx=-®,则称函数)(xfy=在0x点左连续。若)()(lim00xfxfxx=+®,则称函数)(xfy=在0x点右连续。函数)(xfy=在0x点连续的充分必要条件是:函数)(xfy=在0x点既左连续且右连续。因为结论:练习证由定义

3、1知右连续但不左连续,3.函数在区间上的连续性在左端点ax=处右连续则称函数连续点的全体所构成的区间,称为函数的连续区间。bx=处左连续,且在右端点)(xf在闭区间上连续,(１)若函数)(xf在开区间内每一点都连续。(２)若函数)(xf在开区间内连续,则称在开区间内连续。在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。证明4.初等函数的连续性函数的连续性是通过极限来定义的,因此,由极限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：法则1(连续函数的四则运算),设函数)(xf和)(xg均在0x点连续,则)()(xgxf、)

4、0)((0¹xg都在0x点连续。即法则2(反函数的连续性)单调连续函数的反函数在其对应的区间上是连续的。基本初等函数在其定义域内是连续的。应用函数连续的定义与上述两个法则，可以证明设函数)(uf在点0u处连续,函数)(xuj=在点0x处连续,且)(00xuj=,则法则3说明连续函数的复合函数仍为连续函数，并可得如下结论：例如0=0)sinlimarctan(=®xx)arctan(sinlim0®xx复合函数在点0x处连续。(复合函数的连续性)法则3法则xx1)1ln(+=®0xlim解又由于函数uln在eu=处是连续的,

5、故1=ln=e)1ln(+®xx0xlim令xu)1(+=x1e=0x®x+)1(limx1)1ln(+=®x0xlimx1指出:解解练习定理由于基本初等函数在其定义域内是连续的，初等函数在其定义区间内是连续的。若)(xf为初等函数,且0x在其定义区间内,则这表明:对连续函数在连续点求极限,只需求该点函数值.由以上法则，可得：例5求2211limxx-®23=1lim221-®xx解因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。练习求下列函数的连续区间，并求极限：解1解2如果函数)(xf在点0x处不连续,就称)(xf在点0x处

6、间断,0xx=点称为函数)(xf的间断点或不连续点。由函数连续性定义可知,二、函数的间断点间断点分类：间断点可分为以下几种类型,按左、右极限是否都存在来分类。（一）第一类间断点(左、右极限均存在)但不相等;2.跳跃间断点1.可去间断点00+-®®均存在与,)(lim)(limxfxfxxxx®存在,)(lim0xfxx（二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)例211)(2--=xxxf函数2=所以1=x为函数)(xf的可去间断点。令2)1(=f则函数)(xf在1=x点处就连续了。例3函数ïîïíì>-=<+=010

7、001)(xxxxxxf1=0)1(lim+=-®xx由于左极限)(lim0-®xfx1-=)1(lim0-=+®xx)(lim0+®xfx所以0=x点为函数)(xf的跳跃间断点。右极限对于可去间断点，我们可以补充或改变(当)(0xf有定义时)函数在0x点处的定义,(当)(0xf无定义时）使0x点处连续。函数在指出：例4函数11)(-=xxf在1=x点处，由于¥=-=®11lim1xx®)(lim1xfx所以1=x为)(xf的第二类间断点。（无穷型间断点）解练习是可去间断点,则补充或改变定义,使函数在该点连续。如果解则函数

8、)(xf在1=x点处就连续了。解三、闭区间上连续函数的性质下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质，我们不证明，只给出几何说明。定理1(最值性质)则)(xf必存在最大值M和最小值m,即在闭区间],[ba上至少存在两点21,xx,使得mM如,函数ïîïíì£<-=<£-+=10100011)(xxxxxxf