高数I第9讲：函数的连续性.ppt

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1、第九讲函数的连续性内容提要：1.什么是函数的连续性以及如何判断函数在某点连续3.哪些函数是连续函数4.函数连续性的应用5.函数不连续点的定义及求法6.连续函数的性质2.连续函数的运算规律1.函数连续的定义问题1:下面几种现象哪些是连续变化的,哪些是不连续的?连续连续不连续流水植物的生长管道断裂时居民的煤气供应所谓流水的变化是连续的,是指当时间变化很微小时,水量的变化也是很微小的；植物生长的变化是连续的,是指当时间变化很微小时,植物的生长也是很微小的；在数学中,如果当自变量x变化很微小时,函数y相应地变化也很微小,这样的函数就称为连续函数.这就是函数连续的实质.它反映了函数

2、随自变量逐渐变化的过程.从函数图形上我们也可以看出函数在一点是不是连续的:现在我们用数学式子来表达上述说法.按此记法,连续定义1记作连续定义2由此得连续定义10xx®这个定义告诉我们下面三个信息：解：1、y12021x2、(1,2)从图象上看，在处“连续”，在处“间断”。图象：图象：yx01122(1,2)2、，1、引例求下列函数在处的函数值和极限，并作出图象。例1证例2讨论函数在处的连续性，并作出函数的图象。解：所以x04123-1-2123y练习用定义讨论函数在处的连续性并作图。解：1-1xy0定义:在的某左邻域内有定义,则称函数设函数且单侧连续同样，可定义右连续（略

3、）因为故例3解法一解法二右连续但不左连续,若在某开区间上每一点都连续,则称例如,在上连续.(有理整函数)它在该开区间上连续。区间上连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.2.连续函数的运算规律一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是该点连续在该点也连续例如,二、反函数与复合函数的连续性定理2.连续并且单调递增(递减)函数的反函数例如,在上连续且单调递增，其反函数(递减).在[－1,1]上也连续单调递增.递增也连续且单调定理3.连续函数的复合函数是连续的.即:设函数那么复合函数记即注：此定理3是换元

4、法求极限的依据即例如：3.哪些函数是连续函数三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而思考：是否存在这样的函数：它在定义区间的每一点都不连续？四.连续性在求极限中的应用利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果特别：（1）当f(u)=au则（2）当f(u)=logau则(3)当f(u)=(μ为实数)，则(4)第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式的推导过程要用到下面几个极限例4求下列极限（a＞0a≠1

5、）解：（1）∵(重要极限Ⅱ)=lne=1(2)令则ln(1+u)=μln(1+x)(3)令u=ax-1则ax=1+u再见！