高等数学1.8 函数的连续性与间断点.ppt

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1、第八节函数的连续性与间断点第一章三、函数的间断点二、函数的连续性一、问题的提出四、小结与思考题7/25/20211一、问题的提出0T(时间)温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性7/25/20212二、函数的连续性1.函数的增量7/25/202132.连续的定义7/25/20214在的某邻域内有定义,则称函数设函数且定义27/25/202153.单侧连续左连续:当时,有右连续:当时,有定理与单侧极限相类似！7/25/202164.连续函数若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的

2、连续函数.如果此区间包含端点，那么（1）函数在左端点连续是指在左端点右连续，（2）函数在右端点连续是指在右端点左连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．在闭区间上的连续函数的集合记作7/25/20217在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要都有例如,7/25/20218在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.例1证明函数7/25/20219例2讨论函数在处的连续性．解由于即左右极限不相等，所以该函数在但是，因为点不连续．，所以函数在处右连续．7/25/202110三、函数的间

3、断点定义3在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则这样的点下列情形之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;7/25/202111第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.间断点分类:7/25/202112为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:7/25/202113显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.7/25/

4、202114例3当取何值时，函数解因为要使，则需要．故当且仅当时，函数在点连续．在处连续．7/25/202115内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式7/25/202116作业习题1-82（1，3，5），3（1），思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,7/25/2021172.讨论函数在处的连续性。解：右连续但不左连续,故函数在点不连续。7/25/202

5、1183.讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别．习题1－93（2）为跳跃间断点.解：7/25/202119间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.4.确定函数7/25/202120