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《§1.8函数的连续性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§1.8函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量设函数f(x)在U(x0)内有定义,xU(x0),x=x–x0称为自变量x在点x0的增量.y=f(x)–f(x0)称为函数f(x)相应于自变量增量x的增量.也记y=f(x0+x)–f(x0).定义1:设函数f(x)在U(x0)内有定义,如果当自变量的增量x→0时,对应的函数的增量y→0也成立,或那么,就称函数f(x)在点x0连续,x0称为f(x)的连续点.即由于x=x0+x,则x→0等价于x→x0,而y→0等价于f(x)–f(x0)→0,也就是f(x)→f(x0).2.连续的定义定义2:设函数f(x
2、)在U(x0)内有定义,如果函数f(x)当x→x0时的极限存在且等于它在点x0处的函数值f(x0),即那末就称函数f(x)在点x0连续.证:由定义2知:函数f(x)在点x=0处连续.例1:试证明在x=0处连续.3.单侧连续若函数f(x)在(a,x0]内有定义,且f(x0–0)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处左连续.若函数f(x)在[x0,b)内有定义,且f(x0+0)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处右连续.定理:函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0处既右连续又左连续.例2:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.解:右连续但不左连续,函数
3、f(x)在x=0处不连续.4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,并且在左端点x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.例3:证明函数y=sinx在区间(-,+)内连续.证:任取x(-,+)区间上连续函数的图形是一条连续不间断的曲线.例如,多项式函数在区间(-,+)内是连续的.当x充分小时有:例4:证明y=ax在(-,+)内连续.证:只须证明对任意x0(-,+),都有故y=ax在任意x0(-,+)处连续.
4、即函数y=sinx对任意x(-,+)都连续.从而函数y=sinx在区间(-,+)内连续.二、函数的间断点函数f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件:(1)f(x)在点x0处有定义;如果上述三个条件中有一个不满足,则称函数f(x)在点x0处不连续(或间断),并称点x0为f(x)的不连续点(或间断点).1.跳跃间断点如果函数f(x)在点x0处的左,右极限都存在,但不相等,即f(x0–0)≠f(x0+0),则称点x0为f(x)的跳跃间断点.解:显然f(0–0)=0,f(0+0)=1,例5:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.所以,x=0为函数f(x)的跳跃间断点.即f(
5、0–0)≠f(0+0)例6:讨论函数f(x)在x=1处的连续性.所以x=1为函数f(x)的可去间断点.注意:对于可去间断点,只要改变或者补充间断点处函数的定义,则可使其变为连续点.解:因为f(1)=1,而f(1–0)=1=2且f(1+0)=2,故2.可去间断点≠f(x0),或f(x)在点x0处无定义,则称点x0为f(x)的可去间断点.如果函数f(x)在点x0处的极限存在,但=A如在例6中,令f(1)=2,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.其特点是在间断点处的此时,函数f(x)在x=1处连续.3.第二类间断点如果函数f(x)在点x0处的左,右极限至少有一个不存在,则称点x
6、0为函数f(x)的第二类间断点.即不是第一类间断点的间断点称为第二类间断点.左,右极限都存在.则例7:讨论函数f(x)在x=0处的连续性.解:由于f(0–0)=0,f(0+0)=+∞,所以x=0为函数f(x)的第二类间断点.这种情况也称为无穷间断点.例8:讨论函数在x=0处的连续性.解:函数f(x)在x=0处无定义,故x=0为函数f(x)的第二类间断点.这种情况也称为振荡间断点.注意:不要以为函数的间断点只是个别的几个点.解:因为f(0)=a,且处连续.要使函数f(x)在x=0处连续,当且仅当f(0–0)=f(0+0)=f(0)从而,当且仅当a=1时,函数f(x)在x=0处连续
7、.例9:当a取何值时,函数在x=0三、初等函数的连续性1、四则运算的连续性例如,sinx,cosx在(-,+)内连续,定理1:若函数f(x),g(x)在点x0处连续,则f(x)±g(x),(g(x0)≠0)在点x0处也连续.f(x)·g(x),故,tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内也连续.2、反函数与复合函数的连续性定理2:严格单调的连续函数必有严格单调的连续的反函数.因此:三角函数在其定义域内皆连续.例如,因此:反三角函数在其定义域内皆连续.定理3:意义1.在定理条件下
