高考数学第8章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析理.docx

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1、第六节　双曲线[考纲传真]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a，c为常数且a>0

13、，c>0.(1)当2a<

14、F1F2

15、时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝

16、F1F2

17、时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>

18、F1F2

19、时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝虚轴线段实A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

20、A

21、1A2

22、＝2a，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长

23、B1B2

24、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线－＝1有相

25、同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．双曲线

26、－＝1的焦距为()A．5B.C．2D．1C　[由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线－＝1的焦距为2.]3．(教材题改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B.C.D．1D　[依题意，e＝＝＝2，∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]4．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若

27、PF1

28、＝9，则

29、PF2

30、＝________.17　[由题意知

31、PF1

32、＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有

33、PF2

34、－

35、PF1

36、＝2a＝8，故

37、PF2

38、＝

39、P

40、F1

41、＋8＝17.]5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．－y2＝1　[由题意可得解得a＝2，则b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.]双曲线的定义及应用1.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，

42、PF1

43、＝2

44、PF2

45、，则cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.C　[∵由双曲线的定义有

46、PF1

47、－

48、PF2

49、＝

50、PF2

51、＝2a＝2，∴

52、PF1

53、＝2

54、PF2

55、＝4，则cos∠F1PF2＝＝＝.选

56、C.]2．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则

57、PF

58、＋

59、PA

60、的最小值是()A．8B．9C．10D．12B　[由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知

61、PF

62、＋

63、PA

64、＝4＋

65、PB

66、＋

67、PA

68、≥4＋

69、AB

70、＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．][规律方法]　双曲线定义的两个应用一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用

71、正弦定理、余弦定理，结合

72、

73、PF1

74、－

75、PF2

76、

77、＝2a，运用平方的方法，建立与

78、PF1

79、，

80、PF2

81、的联系.双曲线的标准方程【例1】　设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．－＝1[法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝

82、－

83、＝4，故a＝2.又b2＝32