2019年高考数学(理)一轮复习第8章 平面解析几何 第7节 双曲线学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第七节 双曲线[考纲传真] (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用.(对应学生用书第144页)[基础知识填充]1.双曲线的定义(1)平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

2、F1F2

3、)的点的集合叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.(2)集合P={M

4、

5、

6、

7、MF1

8、-

9、MF2

10、

11、=2a},

12、F1F2

13、=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.①当2a<

14、F1F2

15、时,M点的轨迹是双曲线;②当2a=

16、F1F2

17、时,M点的轨迹是两条射线;③当2a>

18、F1F2

19、时,M点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±xy=±x离心率e=,e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,

20、它的长

21、A1A2

22、=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长

23、B1B2

24、=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长8北师大版2019届高考数学一轮复习学案a、b、c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)[知识拓展]1.三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为Ax2+By2=1(AB<0).(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0).(3)与双曲线-=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).2.等轴双曲线实轴和虚轴等

25、长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=.[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(  )(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(  )(3)双曲线-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.(  )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.(  )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(教材改编)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=(

26、  )A.2     B.     C.     D.1D [依题意,e===2,所以=2a,则a2=1,a=1.]3.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且

27、PF1

28、=3,则

29、PF2

30、等于(  )A.11B.9C.5D.3B [由题意知a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义

31、

32、PF1

33、-

34、PF2

35、

36、=

37、3-

38、PF2

39、

40、=2a=6,∴

41、PF2

42、=9.]4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y8北师大版2019届高考数学一轮复习学案=0垂直,则双曲线的方程为(  )A.-y2=1B

43、.x2-=1C.-=1D.-=1A [由题意可得解得a=2,则b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.]5.(2017·全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.5 [∵双曲线的标准方程为-=1(a>0),∴双曲线的渐近线方程为y=±x.又双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=5.](对应学生用书第145页)双曲线的定义及应用 (1)已知双曲线x2-=1的两个焦点为F1,F2,P为双曲线右支上一点.若

44、PF1

45、=

46、PF2

47、,则△F1PF2的面积为(  )A.48      B.24C.12D.6(2)(201

48、7·湖北武汉调研)若双曲线-=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则

49、PF

50、+

51、PA

52、的最小值是(  )A.8B.9C.10D.12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得

53、PF1

54、-

55、PF2

56、=

57、PF2

58、=2a=2,解得

59、PF2

60、=6,故

61、PF1

62、=8,又

63、F1F2

64、=10,8北师大版2019届高考数学一轮复习学案由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形,因此S=

65、PF1

66、·

67、PF2

68、=24.(2)由题意知,双曲线-=1的左焦点F的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B,则B(4,0),由双曲线的定义知

69、PF

70、+

71、PA

72、=

73、4+

74、PB

75、+

76、PA

77、≥4+

78、AB

79、=4+=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共

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