2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析理.pdf

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1、第六节双曲线[考纲传真]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线定义平面内与两个定点F，F的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、FF

3、)的点的轨迹叫做双曲1212线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

4、

5、

6、MF

7、－

8、MF

9、

10、＝2a}，

11、FF

12、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.1212(1)当2a<

13、FF

14、时，P点的

15、轨迹是双曲线；12(2)当2a＝

16、FF

17、时，P点的轨迹是两条射线；12(3)当2a>

18、FF

19、时，P点不存在．122．双曲线的标准方程和几何性质x2y2y2x2标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)a2b2a2b2图形范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A(－a,0)，A(a,0)A(0，－a)，A(0，a)1212ba渐近线y＝±xy＝±xab性质c离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a线段实AA叫做双曲线的实轴，它的长

20、AA

21、＝2a，线段BB121212虚

22、轴叫作双曲线的虚轴，它的长

23、BB

24、＝2b；12a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.[常用结论]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．x2y2x2y2(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ

25、(λ≠0)．a2b2a2b22b2(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为.a[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F(0,4)，F(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．12()x2y2(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()mnx2y2x2y2xy(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.m2n2m2n2mn()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√x2y22．

26、双曲线－＝1的焦距为()32A．5B.5C．25D．1x2y2x2y2C[由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线－＝1的焦距3232为25.]x2y23．(教材题改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()a2365A．2B.C.D．122ca2＋3D[依题意，e＝＝＝2，∴a2＋3＝2a，则a2＝1，a＝1.]aax2y24．设P是双曲线－＝1上一点，F，F分别是双曲线左、右两个焦点，若

27、PF

28、＝9，1620121则

29、PF

30、＝________.217[由题意知

31、PF

32、＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，

33、则有

34、PF

35、－

36、PF

37、＝2a121＝8，故

38、PF

39、＝

40、PF

41、＋8＝17.]21x2y25．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2xa2b2＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．b1＝，a2x2－y2＝1[由题意可得解得a＝2，则b＝1，4a2＋b2＝5，a＞0，b＞0，x2所以双曲线的方程为－y2＝1.]4双曲线的定义及应用1.已知F，F为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，

42、PF

43、＝2

44、PF

45、，则cos∠FPF121212＝()1334A.B.C.D.4545C[∵由双曲线

46、的定义有

47、PF

48、－

49、PF

50、＝

51、PF

52、＝2a＝22，∴

53、PF

54、＝2

55、PF

56、＝42，则12212

57、PF

58、2＋

59、PF

60、2－

61、FF

62、2cos∠FPF＝1212122

63、PF

64、·

65、PF

66、1222＋22－423＝＝.选C.]2×42×224x2y22．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则

67、PF

68、＋412

69、PA

70、的最小值是()A．8B．9C．10D．12x2y2B[由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，412则B(4,0)，由双曲线的定义知

71、PF

72、＋

73、PA

74、＝4＋

75、PB

76、＋

77、PA

78、≥4＋

79、A

80、B

81、＝4＋－2＋－2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．][规律方法]双曲线定义的两个应用一是判定平面内动