高考数学第九章平面解析几何7第6讲双曲线练习理（含解析）

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1、第6讲双曲线[基础题组练]1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±x　　　　B．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选A.法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所

2、以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.3．(一题多解)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)A．(－1，3)　　　　　　　　B．(－1，)C．(0，3)D．(0，)解析：选A.法一：由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，所以2c＝2×

3、2m

4、＝4，所以

5、m

6、＝1，因为方程－＝1表示双曲线，所以(m2＋n)·(3m2－n)>0

7、，所以－m20，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．4C．6D．8解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a

8、2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)A.B.C.＋1D.解析：选A.法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以

9、OE

10、＝

11、PF′

12、，又

13、OE

14、＝a，所以

15、PF′

16、＝2a，根据双曲线的性质，

17、PF

18、－

19、PF′

20、＝2a，所以

21、PF

22、＝4a，所以

23、EF

24、＝2a，在Rt△OEF中，

25、OE

26、2＋

27、EF

28、2＝

29、OF

30、2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，

31、故选A.法二：连接OE，因为

32、OF

33、＝c，

34、OE

35、＝a，OE⊥EF，所以

36、EF

37、＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以

38、PF

39、＝2b，

40、PF′

41、＝2a，所以

42、PF

43、－

44、PF′

45、＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝.6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则

46、MN

47、＝(　　)A.B．3C．2D．4解析：选B.因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±

48、x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，由得所以M，所以

49、OM

50、＝＝，所以

51、MN

52、＝

53、OM

54、＝3，故选B.7．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1B.－y2＝1C.－＝

55、1D．x2－＝1解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离

56、FA

57、＝b，

58、OA

59、＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.8．(2019·河北邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为(　　)A．2＋B.C．2＋D.解析：选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可

60、得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋，所以e＝，故选D.9．(2019·贵阳模拟)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若＝2，则双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D．2解析：选B.设P(0，3m)，由＝2，可得点M的坐标为，因为OM⊥PF，所以·＝－1，所以m2＝c2