2020版高考数学第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培优练文（含解析）新人教A版

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1、第6讲双曲线[基础题组练]1．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)A．2　　　　　B．4C．6D．8解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若

2、PF1

3、－

4、PF2

5、＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为(　　)A.－y2＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－＝1解析：选A.由题意可得解得则该双曲线方程为－y2＝1

6、.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若

7、OP

8、＝

9、OF

10、，则△OPF的面积为(　　)A.B.C.D.解析：选B.因为c2＝a2＋b2＝9，所以

11、OP

12、＝

13、OF

14、＝3.设点P的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得

15、y

16、＝，所以S△OPF＝

17、OF

18、·

19、yP

20、＝.故选B.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A．

21、(2，＋∞)B．(1，2)C.D.解析：选A.由双曲线的性质可得

22、AF

23、＝，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a＋c，由题意可知>a＋c，整理得c2－2a2－ac>0，两边同除以a2，则e2－e－2>0，解得e>2或e<－1，又双曲线的离心率大于1，所以e>2.5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1.由题意得即又c2＝a2＋b2，故b2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在

24、y轴上，设其标准方程为－＝1.同理可得所以b＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.答案：－＝1或－＝16．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝，即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.答案：7．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个

25、焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.所以＝3，得a＝3，b＝4，所以双曲线G的方程为－＝1.8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝2，c＝4，再

26、由a2＋b2＝c2，得b2＝4，所以双曲线C的方程为－＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2与－＝1联立，得(1－3k2)x2－12kx－36＝0.由题意知解得b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选B

27、.由题意可知，×＝1⇒c＝a，因为c＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，不妨设P与F2在y轴右侧，则，得

28、PF1

29、2＝

30、F1F2

31、2＋

32、PF2

33、2，所以△F1PF2为直角三角形，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则

34、MN

35、＝(　　)A.B．3C．2D．4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α

36、＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，

37、OF

38、＝2，则

39、ON

40、＝.则在Rt△OMN中，

41、MN

42、＝

43、ON

44、·tan2α＝·tan60°＝3.故选B.法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN