2020版高考数学第九章平面解析几何6第5讲椭圆（第2课时）直线与椭圆新题培优练文新人教A版

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1、第2课时直线与椭圆[基础题组练]1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且

2、AB

3、＝，则实数m的值为(　　)A．±1　　　　B．±C.D．±解析：选A.由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，得＝，解得m＝±1.2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点A(0，－2)，B，所以S△OA

4、B＝·

5、OF

6、·

7、yA－yB

8、＝×1×＝，故选B.3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得＋＝0.因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2.将其代入上式，得＝.因为直线AB的斜率为＝，所以＝，所以a2＝2b2.因为右焦点为F(3，0)，所以a2－b2＝c2＝9，解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆E的方程为＋＝1.故选D.

9、4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选B.将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.5．已知点M在椭圆G：＋＝1(a>b>0)上，且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的

10、直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积．解：(1)因为2a＝4，所以a＝2.又点M在椭圆G上，所以＋＝1，解得b2＝4.所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

11、AB

12、＝

13、x1－x2

14、＝

15、3.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以△PAB的面积S＝

16、AB

17、·d＝.6．已知椭圆＋y2＝1，(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．解：(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)．①－②得＝－＝－，所以－＝，化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分)．(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.[综合题组练]1．已知F1(－c，0)，

18、F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析：设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝＝，又x2∈[0，a2]，所以2c2≤a2≤3c2，所以e＝∈.答案：2．(综合型)设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为________．　解析：直线l′的方程为2x＋y－2＝0，所以交点分别为椭圆顶点(

19、1，0)和(0，2)，则

20、AB

21、＝，由△PAB的面积为，得点P到直线AB的距离为，而平面上到直线2x＋y－2＝0的距离为的点都在直线2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直线2x＋y－1＝0与椭圆相交，2x＋y－3＝0与椭圆相离，所以满足题意的点P有2个．答案：23．(2019·洛阳市第一次统考)已知短轴的长为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)，直线n的横、纵截距分别为a，－1，且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足＋－2＝0，求直线l的方程．解：(1)因为椭圆E的短

22、轴的长为2，故b＝1.依题意设直线n的方程为－y＝1