高考数学第九章平面解析几何6第5讲椭圆（第2课时）直线与椭圆的位置关系练习理（含解析）

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1、第2课时直线与椭圆的位置关系[基础题组练]1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)A．至多为1　　　　　　　B．2C．1D．0解析：选B.由题意知，>2，即<2，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点

2、A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·

3、OF

4、·

5、yA－yB

6、＝×1×＝，故选B.3．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且

7、AB

8、＝3，则C的方程为(　　)A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且

9、AB

10、＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.4．斜率为1的直线l与椭圆

11、＋y2＝1相交于A，B两点，则

12、AB

13、的最大值为(　　)A．2B.C.D.解析：选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝.所以

14、AB

15、＝

16、x1－x2

17、＝·＝·＝·，当t＝0时，

18、AB

19、max＝.5．中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.c＝5，设椭圆方程为＋＝

20、1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则

21、

22、AB

23、＝＝＝＝.答案：7．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．解析：由点差法可求出k1＝－·，所以k1·＝－，即k1k2＝－.答案：－8．(2019·广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1，

24、0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝19．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3

25、PF1

26、＝5

27、PF2

28、且cos∠F1PF2＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，

29、点Q，若

30、AQ

31、＝

32、BQ

33、，求k的取值范围．解：(1)由题意设

34、PF1

35、＝r1，

36、PF2

37、＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)联立方程，得，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①设AB的中点为M(x0，y0)，连

38、接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，因为

39、AQ

40、＝

41、BQ

42、，所以AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞或k＜－，故k的取值范围为∪.10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(