高考数学第九章平面解析几何5第5讲椭圆（第1课时）椭圆及其性质练习理（含解析）

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1、第1课时椭圆及其性质[基础题组练]1．焦点在x轴上的椭圆＋＝1(m>0)的焦距为4，则长轴长是(　　)A．3　　　　　　　　　　　B．6C．2D.解析：选C.因为椭圆＋＝1(m>0)的焦点在x轴上，所以m＞1，则a2＝m，b2＝1，所以c＝＝，由题意可得2＝4，即m＝5.所以a＝.则椭圆的长轴长是2.故选C.2．(2019·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析：选B.因为a＝4，e＝，所以c＝

2、3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.3．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则

3、PF1

4、·

5、PF2

6、＝(　　)A．4B．6C．8D．12解析：选A.由

7、PF1

8、＋

9、PF2

10、＝4，

11、PF1

12、2＋

13、PF2

14、2－2

15、PF1

16、·

17、PF2

18、·cos60°＝

19、F1F2

20、2，得3

21、PF1

22、·

23、PF2

24、＝12，所以

25、PF1

26、·

27、PF2

28、＝4，故选A.4．已知F是椭圆＋＝1(a>

29、b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，

30、PF

31、＝

32、AF

33、，则该椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又

34、PF

35、＝

36、AF

37、，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．5．(2019·辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：选C.

38、由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.6．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有

39、PC1

40、＝r＋1，

41、PC2

42、＝9－r.所以

43、PC1

44、＋

45、PC2

46、＝10>

47、C1C2

48、＝6，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.答案：＋＝17．(201

49、9·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知

50、F1M

51、＝2c＝8，所以

52、F2M

53、＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．答案：(3，)8．(2019·安徽滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若

54、AF

55、

56、＋

57、BF

58、＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(

59、AF

60、＋

61、BF

62、)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2.又e＝＝＝，所以0

63、过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.所以△ABF2的周长为

64、AF1

65、＋

66、AF2

67、＋

68、BF1

69、＋

70、BF2

71、＝4a＝4.(2)设直线l的方程为x＝my－1，由，得(m2＋2)y2－2my－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，因为AF2⊥BF2，所以·＝0，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(my1－2)(my2－2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝－2m×＋4＝＝0.所以m2＝7.所以△ABF2的面积S＝×

72、

73、F1F2

74、×＝.10．(2019·陕西西安模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若e＝，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且