2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质教学案理北师大版.docx

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1、第5讲　椭圆一、知识梳理1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a

11、(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c离心率e＝，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b23.点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.常用结论(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半

14、径，分别记作r1＝

15、PF1

16、，r2＝

17、PF2

18、.①＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；②＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝

19、PF1

20、，r2＝

21、PF2

22、，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；②S＝b2tan＝c

23、y0

24、，当

25、y0

26、＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大

27、值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.(4)AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则①弦长l＝

28、x1－x2

29、＝

30、y1－y2

31、；②直线AB的斜率kAB＝－.二、教材衍化1．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是(　　)A.＋＝1　　　　　B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1或＋＝1解析：选A.设点P的坐标为(x，y)，因为

32、PF1

33、＋

34、PF2

35、＝10>

36、F1F2

37、＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的

38、椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.故选A.2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　)A.B．C．2－D．－1解析：选D.设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有

39、PF2

40、＝

41、F1F2

42、，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0

43、是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√二、易错纠偏(1)忽视椭圆定义中的限制条件；(2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；(3)忽视点P坐标的限制条件．1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．解析：由题意知

44、MF1

45、＋

46、MF2

47、＝18，但

48、F1F2

49、＝18，即

50、MF1

51、＋

52、MF2

53、＝

54、F1F

55、2

56、，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F1F22．椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________．解析：当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或8.答案：4或83．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝

57、±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以