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《高考数学复习第九章平面解析几何第5节第1课时椭圆及其标准方程学案理新人教b版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 椭圆及其标准方程最新考纲 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.椭圆的定义平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式:集合P={M
4、
5、MF1
6、+
7、MF2
8、=2a},
9、F1F2
10、=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若
11、a<c,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距
12、F1F2
13、=2c离心率e=∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2[常用结论与微点提醒]1.过椭圆的一个焦点且与长轴
14、垂直的弦的长为,称为通径.2.椭圆离心率e===.3.应用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )(3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )(4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.( )解析 (1)由椭圆的定义知,当该常数大于
15、F1F2
16、时,其轨迹才是椭圆,而常数等于
17、F
18、1F2
19、时,其轨迹为线段F1F2,常数小于
20、F1F2
21、时,不存在这样的图形.(2)因为e===,所以e越大,则越小,椭圆就越扁.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(2017·浙江卷)椭圆+=1的离心率是( )A.B.C.D.解析 由已知,a=3,b=2,则c==,所以e==.答案 B3.(2018·青岛调研)椭圆+=1的焦点坐标为( )A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±9,0)D.(0,±9)解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3,故焦
22、点坐标为(0,±3),故选B.答案 B4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则椭圆C的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 由题意知c=1,e==,所以a=2,b2=a2-c2=3.故所求椭圆C的方程为+=1.答案 D5.(教材习题改编)已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为________.解析 设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,则F1(-1,0),F2(1
23、,0),由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入+=1,得x=±,又x>0,所以x=,∴P点坐标为或.答案 或考点一 椭圆的定义及其应用【例1】(1)(教材习题改编)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)连接QA.由已知得
24、
25、QA
26、=
27、QP
28、.所以
29、QO
30、+
31、QA
32、=
33、QO
34、+
35、QP
36、=
37、OP
38、=r.又因为点A在圆内,所以
39、OA
40、<
41、OP
42、,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10-2=8.答案 (1)A (2)D规律方法 1.椭圆定义的应用主要有:判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足2a>
43、F1F2
44、.【训练1】(1)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件
45、PF1
46、+
47、PF2
48、=a+(a>
49、0),则点P的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段(2)与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.解析 (1)∵a+≥2=6,当且仅当a=,即a=3时取等号,∴当a=3时,
50、PF1
51、+
52、PF2
53、=6=
54、F1F2
55、,点P的轨迹是线段F1F2;当a>0,且a≠3时,
56、PF1
57、+
58、PF2
59、>6=
60、F1F2
61、,点P的轨迹是椭圆.(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y
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