高考数学复习第九章平面解析几何第5节第2课时椭圆的简单几何性质学案理新人教b版

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1、第2课时　椭圆的简单几何性质考点一　椭圆的性质【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若

2、AF

3、＋

4、BF

5、＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析　(1)以线段A1A2为直径的圆是

6、x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即＝.∴e＝＝＝＝＝.(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵

7、AF

8、＋

9、BF

10、＝4，∴

11、AF

12、＋

13、AF0

14、＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.离心率e＝＝＝＝∈.答案　(1)A　(2)A规律方法　求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c

15、2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【训练1】(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.(2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.解

16、析　(1)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，所以a＝3c，所以e＝.(2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且

17、F1O

18、＝

19、OF2

20、，所以

21、F1D

22、＝

23、DB

24、，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝且0＜e＜1，所以e2＋2e

25、－＝0，解得e＝(e＝－舍去).答案　(1)A　(2)考点二　椭圆性质的应用【例2】(1)(2018·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1(2)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么

26、＋

27、的最小值是(　　)A.0B.1C.2D.2解析　(1)依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，

28、0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.(2)椭圆的标准方程为＋y2＝1，因为原点O是线段F1F2的中点，所以＋＝2，即

29、＋

30、＝

31、2

32、＝2

33、PO

34、，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即

35、PO

36、的最小值为b＝1，所以

37、＋

38、的最小值为2.答案　(1)A　(2)C规律方法　利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题

39、时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.【训练2】(1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A.1B.C.2D.2(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)A.(0，1]∪[9，＋∞)B.(0，]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，]∪[4，＋∞)解析　(1)设a

40、，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.(2)①当焦点在x轴上，依题意得03，且≥tan＝，∴m≥9，综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).答案　(1)D　(2)A考点三　直线与椭圆(多维探究)命题角度1　弦及中点弦问题【例3－1】已知椭圆＋y2＝1，(1)过A(2，1)