2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何5第5讲椭圆（第1课时）椭圆及其性质新题培优练文（含解析）新人教A版

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1、第1课时椭圆及其性质[基础题组练]1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)A．(±，0)　B．(0，±)C．(±，0)或(±，0)D．(0，±)或(±，0)解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B.2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<144)的(　　)A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：选D.曲线＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等．3．(2019·郑州市第

2、二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D.由椭圆的定义，知

3、AF1

4、＋

5、AF2

6、＝2a，

7、BF1

8、＋

9、BF2

10、＝2a，所以△AF1B的周长为

11、AF1

12、＋

13、AF2

14、＋

15、BF1

16、＋

17、BF2

18、＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.4．(2019·长春市质量检测(二))已知椭圆＋

19、＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　)A.B．1C.D.-6-解析：选D.法一：不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故

20、AB

21、＝3，所以内切圆半径r＝＝＝，其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长4a＝8.法二：由椭圆的通径公式可得

22、AB

23、＝＝3，则S＝2×3×＝3，C＝4a＝8，则r＝＝.5．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________．解析：由题意可

24、得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝c，故椭圆的离心率e＝＝.答案：6．(2019·贵阳模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝

25、1.(2)易知

26、yP

27、＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝

28、yP

29、×2c＝×4×6＝12.8．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．-6-(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a

30、＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.[综合题组练]1．(2019·贵阳市摸底考试)P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为(　　)A.B.C.D.解析：选D.如图，不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即

31、PF

32、＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e

33、＝－1(舍去)．故选D.2．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足

34、OP

35、＝

36、OF

37、且

38、PF

39、＝6，则椭圆C的方程为(　　)-6-A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.由题意知，c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由

40、OP

41、＝

42、OF

43、＝

44、OF′

45、知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得

46、PF′

47、＝＝8，

48、又

49、PF

50、＋

51、PF′

52、＝2a＝6＋8＝14，所以a＝7，所以b2＝a2－c2＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选C.3．(综合型)已知△ABC的顶点A(－3，0)和顶点B(3，0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________．解析：由椭圆方程知a＝5，b＝4，